V. — Propriétés relatives a l'axe radical
200. Par conséquent, soil A le point de concours des droites qui réunissent cl et (3, a 1 et b 1 ; puisque ces quatre points sont sur une même circonférence, on aura
ka.k$z=zka\kb'>
il en résulte que ce point À a la même puissance relativement aux circonférences et 0'; ainsi deux cordes anti-homologues se coupent sur F axe radical {fig* 64).
De même ab et a'fi', ba et fi' a', a fi eta'b' se coupent deux à deux sur l'axe radical*
Si les rayons Sa, S b se rapprochent indéfiniment, les cordes anti-homologues afi et a'b' deviennent infiniment petites : donc, les tangentes en deux points anti- homologues se coupent sur Taxe radical. .
201. Soient t et V les points de contact d'une tangente commune passant en S, et B le point où elle est coupée par Taxe radical : ce point ayant même puissance par rapport aux deux cercles, les distances Bf et Bf sont égales, c'est-à-dire que
Y axe radical passe au milieu de la distance des points de contact. De plus, comme les polaires du point S, relativemeni aux deux cercles, sont les perpendiculaires menées de t et de
V sur 00', on voit que Vaxe radical est à égale distance des polaires au centre de similitude. On ferait le même raisonnement pour l'autre centre de similitude S'.
Ce théorème s'étendrait par le principe de continuité aux cas où deux ou quatre tangentes communes sont imaginaires.
202. D'un point de l'axe radical de deux cercles, si l'on mène deux transversales passant respectivement par les pôles de cet axe dans les deux cercles, les droites qui joignent les points où ces transversales coupent les circonférences passent à un centre de similitude {fig. 65).
Soit p le pôle de l'axe radical ÀP relativement au cercle 0, et/?' ce pôle relativement au cercle 0', on aura, puisque AP est la polaire de p,
mk nk ,, , mk mk.nk
=■ 1 a ou ■ ■■ = — ■ >•
mp np — mp.np
CENTRES DE SIMILITUDE OU d'hO*OTHÊTLB. 97
Soient a et b les extrémités du diamètre situé sur la ligne xles centres, cela revient à
■ 7 mk
km
.kn
mp
pa.
pb
De m
ême
km 1
.An'
donc,
comme
Am.A/t = Am'.An', puisque A est sur Taxe radical, il reste
mk : m'k = ± /fïTjPT' mp # m' p y pa.pb
Soit S le point où m' m coupe 00', le triangle kpp f donne avec cette transversale (2)
pm*km'.p , S=pS.p , m! .km, égalité d'où Ton tire
S/?' km.p'm' m A m' A
Sp km! \pm ~~ mp ' m'p' '
et Ton a enfin
%p V pa.pb
quantité constante.
Il y a donc deux positions du point S ; mais il reste à prouver que ce sont les centres de similitude.
Du point P, pied de Taxe radical sur 00', si Ton mène des tangentes aux cercles, on aura ainsi les polaires hp, h' p f de Taxe radical dans ces deux cercles : or, ces polaires peuvent être considérées comme des cas particuliers des sécantes indiquées ; il suffit de supposer le point A à l'infini sur Taxe radical. Mais les tangentes en A et A' concourent en P sur cet axe; donc (200), ces points h et h! sont anti-homologues, et le point S, où hh! concourt avec mm! et nn', est un centre de similitude.
gB cbapitib vin.
Tout ce qui précède s'appliquerait aussi au point S'.
203. Les pôles de Taxe radical, relativement à chaque cercle, divisent harmoniquement la distance des centres de similitude.
En effet, considérons le quadrilatère mm'nn 1 ; les droites m' met n' n se coupent en S, et les droites m' net n'men S', d'après le numéro précédent. Tout se ramène donc aux théorèmes connus du second chapitre sur le quadrilatère complet. . 204- . Soit A {fig. 66) un point de Taxe radical AP de deux cercles et 0', où concourent les tangentes en deux points anti-homologues n et ni ( 300 ).
On a trouvé (173)
tang jSOm.tangjSO« = g--
Mais
SOm = SO'm'=/w'AP,
ces deux derniers angles ayant leurs côtés perpendiculaires; ensuite
tang \ SOw = cbt { O'O/t, et d'ailleurs
0'0/i = /iAP. Il reste donc
tangjm'AP S6:lSy
tang \ /iAP ~" Sa ~ Sd #
205. Voici un théorème proposé au concours général. de mathématiques élémentaires en i85i : nous donnons la démonstration du premier prix (fig* 67).
Étant donnés deux cercles O et O', si d'un point a' de l'un on mène aux centres de similitude S et S' des droites qui coupent l'autre circonférence aux points a et a, b et (3 ; i° la droite. a(3 passe par le centre O ; 2 la droite ab coupe la ligne des centres en un point constant p.
i° O a et 0(3 sont parallèles à Oot par la similitude directe et inverse ; donc la ligne ctOfi est droite.
a° Soient les droites a A, a' A tangentes aux cercles et a'C tangente en a' jusqu'à la rencontre de ko! en C, je dis que les triangles aka!, a'Ca' sont semblables. En effet, les angles en a!* sont opposés au sommet et de plus a A et a'C sont
CENTRES DE SIMILITUDE OU d'hOMOTHÊTIE. g$
parallèles comme perpendiculaires aux rayons hontologues Oa,C«\ Mais le triangle a'Ca! est isocèle, puisque Ca' et Ca' sont les tangentes au même cercle, donc aussi Aa = Aa' et le point À est sur Taxe radical.
Soit Ai le point où se coupent les tangentes en 6 et en a', et menons en 6' la tangente qui rencontre au point B la tangente en a' : les triangles 6 AI a', <x'B 6' sont semblables comme ayant les angles en a' égaux parce qu'ils sont opposés au sommet* et ayant aussi 6 A, et b' B parallèles comme perpendiculaires à des rayons 06, 06' qui sont homologues, parce que 66 ; passe en S'. Mais Ba' = B6' ; donc aussi A, 6 = A, a*, et le point A É est encore sur Taxe radical : or, ces deux points A et A t sont à la fois sur Taxe radical et sur la tangente en a!, donc ils coïûcident.
Par conséquent Taxe radical est le lieu des pôles des droites telles que ab : donc ces droites doivent passer par le pôle p de Taxe radical relativement à la circonférence 0.
