Droites et points conjugués

On appelle points conjugués par rapport au cercle deux points tels, que la polaire de l'un passe par l'autre : cette propriété est évidemment réciproque.

On voit que deux points conjugués sont conjugués harmoniques relativement aux deux poinls d'intersection (réels ou imaginaires ) de la circonférence par la droite sur laquelle sont pris ces deux points.

De même, on dit que deux droites sont conjuguées relativement à un cercle quand le pôle de Tune se trouve sur l'autre* Donc, d'après la définition du faisceau harmonique et lçs théorèmes sur les polaires (61 et suiv.), deux droites conjuguées entre elles sont conjuguées harmoniques relativement aux deux langentes au cercle (réelles ou imaginaires) menées par leur point de concours.

207. Deux points conjugués a et d étant conjugués harmoniques par rapport aux deux points A et A' où la droite aa! coupe la circonférence, soit Ole milieu de AB, on aura (26)

OÂ a = 0«.Oa'.

IOO -CHAPITRE VIII,

Soient b et b' 9 c et d deux autres couples de points conjugués, on aura encore les égalités OA = Ob. Oft' = Oc . Oc'; par conséquent trois couples de points conjugués, pris sur une même droite, forment une involution de six points dont les points doubles sont les deux points <T intersection du cercle par la droite.

208. Quatre points en ligne droite ont leur rapport anharmonique égal à celui de leurs polaires.

En effet, quatre points a, ft, c, d ont leur rapport anharmonique égal à celui de leurs conjugués d', b r , <f,d', car ces points forment deux divisions homographiques, puisqu'ils constituent une involution (207). Or ces points conjugués spnt sur les polaires des quatre points a, b, c, d, d'après la définition même des points conjugués ; et ces polaires passent par un même point, puisque a, 6, c, d sont sur une même ligne droite. Par conséquent le rapport anharmonique de ces points a' f b' , d, d 1 çst à la fois égal à celui des points a, b, c, d et à celui de leurs polaires : donc ces derniers sont égaux.

209. On en conclut que trois couples de droites conjuguées, menées par un même point , forment un faisceau de six droites en involution, dont les deux rayons doubles sont les tangentes au cercle, menées par ce point. Ce théorème inverse du n° 207 tient à ce que les points conjugués a, b, c, d et a', 6', d, d' étant sur la même droite, les faisceaux de leurs polaires passent en un même point.

210. Quadrilatère circonscrit au cercle. — Revenons au n° 174 et à la^/îg-. 58 qui s'y rapporte.

Un quadrilatère étant circonscrit à un cercle, les diagonales qui joignent les sommets opposés concourent au même point que les droites qui joignent les points opposés de contact.

Nous transcrivons ici l'énoncé de' ce théorème, mais la démonstration en ayant été donnée (174), nous ne la répéterons pas. Seulement, comme rien n'exige que le quadrilatère en question sQit convexe, les quatre tangentes aux points i, i', g, g' (fîg* 58) formeront trois quadrilatères différents suivant que l'on considérera une d'elles comme opposée à chacune des trois autres.

CENTRES DE SIMILITUDE OIT D'hOMOTHÉTIE. IOI

Nous avons déjà considéré comme opposées (174) les tangentes en i et en i v , en g et en gf, ce qui a donné le point P où concourent»' etgg', point correspondant au quadrilatère ourfad*

Considérons ensuite la tangente en i comme opposée ;à\h" tangente en g' : les droites ig' f i 7 g" donnent H pour point de 4 concours, et les tangentes opposées a' A et Oa, Oa' et A a forment le quadrilatère a! AaO dont les diagonales OA et aa! passent aussi en H.

Enfin la tangente en i étant opposée à fa tangente en g, les droites ig, V g' donnent le point de concours K, en dehors des limites de la figure. Alors les tangentes opposées a' A et Oa» Aaet Oa' forment le quadrilatère Oa'aA dont les diagonales OA et a'a passent en R.

211. Dans un quadrilatère circonscrit à un cercle, le point de rencontre des deux diagonales est le pôle de la droite qui joint le point de concours des côtés opposés.

On a vu, dans le courant de la démonstration du théorème précédent (174), que P était le p§Ie de la droite AO qui réunit les points de concours A et des côtés opposés a' a! et aa,aa r et <xoc r du quadrilatère aa'aof.

De même H sera le pôle de la droite aa!, et K celui de la droite a! a.

212. Quand un quadrilatère est circonscrit à un cercle, les deux diagonales et la droite qui joint les points de concours des côtés opposés forment un triangle dont chaque sommet a pour polaire le côté opposé {fig. 58).

En effet, relativement au quadrilatère aa'â'a qui a pour diagonales iï% gg' et dans lequel la droite AO réunit les points de concours des côtés opposés, on a vu (174) que A était le pôle de U* et O celui de gg'; par suite P est aussi le pôle de AO, ce qui démontre le théorème.

Il en serait de même pour les autres quadrilatères. Il suit de là que les deux diagonales sont deux droites conjuguées par rapport au cercle (206).