Quadrilatère inscrit aa cercle

Quand un quadrilatère est inscrit au cercle, les points de concours des tangentes en ses sommets opposés, et les points de concours de ses côtés opposés, sont quatre points en ligne droite {fig. 58).

40? CHAPITRE Ylli.

En effet, on a vu, à la fin du n° 210, que la droite OÀ qui réunit les points de concours des tangentes aux points g et g', i et ï et qui passa déjà (174) au point H où concourent les côtés opposés ig' et if g, passe aussi au point K où se joignent les autres côtés opposés ig et g' ï.

De même pour les autres combinaisons de sommets opposés, les points a, P, ai ', H sont en ligne droite, ainsi que les points a', P, a, K.

214. Dans un quadrilatère inscrit au cercle, te point de concours des deux diagonales est le pôle ae la droite qui joint les points de concours des côtés opposés (Jîg. 58).

Nous avons vu (174), relativement au quadrilatère circonscrit <*<*' a'a, que le point P où concourent les lignes ii\ gg' qui joignent les points de contact des côtés opposés, est le pôle de la droite ÀO, qui réunit les points de concours de ces côtés opposés. Mais nous savons aussi (213) que cette droite AO coïncide avec HK, c'est-à-dire avec la droite qui réunit les points de concours des côtés opposés dans le quadrilatère in- fc scrit dont ï et /', gel g* sont les sommets opposés. De même H est le pôle de PK et K celui de HP.

215. Quand un quadrilatère est inscrit au cercle , le point de rencontre des deux diagonales et les points de concours des côtés opposés sont trois points dont chacun a pour polaire la droite qui joint les deux autres [fig. 58).

Dans le triangle HPK nous venons déjà de constater que P, où concourent les diagonales du quadrilatère dont ï et *', g et g f sont les sommets opposés, est le pôle de la droite HK : mais nous avons vu aussi (211) que H était le pôle de and et K celui de ai a. Or nous avons démontré (213) que <za' coïncide avec PK et a' a avec PH, donc le théorème est démontré pour le triangle PHK qui est le même pour les trois combinaisons de sommets opposés.

II résulte de là que les points de concours des côtés opposés d'un quadrilatère inscrit sont deux points conjugués par rapport au cercle (206).

216. Enfin il est évident parla perspective, que tout ce qui a été démontré pour le cercle, dans ce § VI, s'applique aussi à une conique quelconque.

CENTRES DE SIMILITUDE OU d'BOMOTHÉTIE. lo3

VIL — - Quadrilatère circonscrit a deux cercles.

217. La circonférence qui a pour diamètre la distance des centres de deux cercles passe par les sommets 4** quadrilatère circonscrit à ces cercles.

Soient c etC les centres de ces deux cercles, S et S' leurs centres de similitude, i, g, h, k les sommets du quadrilatère, circonscrit; la droite ch est bissectrice de l'angle SAS' et CA est bissectrice du supplément de cet angle; donc l'angle cAC est droit, et la circonférence qui a Ç c pour diamètre passe en A ; il en sera de même pour les autres sommets,

218. Chacune des droites qui joignent f perpendiculairement à la ligne des centres, les sommets du quadrilatère circonscrit à deux cercles, est la polaire, dans ces deux cercles^ du pied de Vautre droite sur la ligne des centres {fig* 68).

Comme rien n'exige que le quadrilatère circonscrit. igk h soit considéré comme convexe, on peut prendre hg et ik 9 hk et ig pour les côtéfe opposés ; alors ih et g* k, perpendiculaires à cC aux points e et/, sont les diagonales de ce quadrilatère. Cela posé, appliquons le théorème du n Q 212 ; on voit que la droite qui joint les points de concours S et S' des sommets opposés forme avec les diagonales un triangle, dont ef est un côté, le sommet opposé à ef étant à l'infini, puisque ih et gk sont parallèles. Alors, d'après le théorème indiqué, l'un des autres sommets, tel que e, sera la polaire du côté oppose dont la direction est fk. Mais il faut bien observer que fk est la polaire de e relativement aux deux cercles a et C, puisque le quadrilatère est également circonscrit a chacun de ces deux cercles. De même eh est la polaire de /par rapport aux deux cercles.

219. Puisque ih qui coupe Ce en e est polaire de/ relativement au cercle C, les points e, /divisent harmoniquemçnt le diamètre de C; on verrait de même qu'ils divisent harmoniquement le diamètre de c. Par conséquent, ces points e, f (fig*Ç&) sont les mêmes que les points indiqués aussi par e, f (Jig. 35 ) dans le n° 84. Donc, ici encore, le pied de l'axe radical est au milieu de la distance de ces deux points.