I. — Théorèmes sur trois cercles

220. Quand trois cercles ont le même axe radical, les polaires d'un point quelconque, prises relativement à ces trois cercles, passent par un même point.

Soient A, B, C ces trois cercles, etP le point donné; soit P' le point où concourent les polaires P'a, P'|3 de P relativement à A et à B, je dis que la polaire de P, relativement à C, passera aussi en P'.

En effet, joignons PP' qui coupe Taxe radical commun «n 0, et les cercles en a et en a\ b et 6', c et c*. Nous savons {136) que les six points pris sur les circonférences font une involution dont O est le point central. Mais, d'après la définition même des polaires (52), les points P et P' sont harmoniques conjugués relativement à a et a!, ainsi qu'à b et b'. Par conséquent P et P' sont les points doubles de rinvolution(146). Donc ces points doubles divisent aussi harmoniquement la distance ce'; d'où il résulte que la polaire de P, relativement à C, passera aussi en P'.

On sait (146) que les points doubles sont à égale distance du point central, c'est-à-dire que P0 = 0P' : donc aussi les distances de ces points P et P' à l'axe sont égales et de côté opposé.

On conclut de cette symétrie que, réciproquement, les polaires du point P' relativement aux trois cercles passeraient en P.

221. Quand un cercle est tangent à deux autres , les points de contact sont en ligne droite avec l'un des centres de similitude de ceux-ci.

Ce théorème a déjà été implicitement démontré (194) sur

CONTACTS D'UN CERCLE AVEC TROIS AUTRES. Io5

la fig* 63, où Ton voit que, la droite a a! passant en S, Oa et OV concourent au centre d'un cercle tangent à et à 0'.

Réciproquement (^g*. 69) la droite MN' qui réunit les contacts de C avec et 0' passe à un centre S de similitude de et de 0', On voit niême que ces points de contact a et <x? [fig. 63), ou M et N' {Jig. 69), sont anti- homologues.

222. Théorème de Camchjr [fig. 69). — Soit À un point quelconque de la circonférence C, tangente en M et N' aux cercles etO'; menotis AM qui coupe encore la circonférence en T, et AN' qui coupe encore la circonférence 0' en T'; enfin, menons à 0', par le point T', une tangente jusqu'à la rencontre de AM en R. Si nous indiquons par t et /' les longueurs des tangentes menées du point A aux cercles et 0', nous aurons