AM.AT, /" = AN'.AT' = AM.AR
ce qui démontre le théorème.
Corollaire. — Si le point A est sur Taxe radical des cercles O et 0', on a *' = t ; donc AR = AT.
Pour voir comment cette circonstance peut se présenter, observons que, même sans cette supposition particulière, la tangente en T est parallèle à la tangente en T', car les rayons OM et CM' étant homologues, ainsi que les droites MT et M'T', les rayons OT, O'T' sont aussi homologues, et par conséquent parallèles. Donc les tangentes T'R, TR' sont parallèles.
io6 . chapitre ».
On en conclut que, si AR = AT, ces droites TR, TR' se confondent en une tangente commune aux deux cercles O et 0'.
223. Quand un cercle est tangent à deux autres, les tangentes aux points de contact se coupent sur taxe radical de ceux-ci.
En effet, on a vu (221 ) que ces points de contact sont antihomologues: le théorème est donc démontré d'avance (200). Ainsi (jig. 70) le point B ou se coupent les tangentes communes aux points M et N' est sur l'axe radical P de et 0'.
224*. Soient C et C, deux cercles dont chacun soit à la fois tangent à et O', ils ont pour axe radical une droite qui passe en un centre de similitude de et O'. Ainsi \fig. 70) l'axe radical L de C et C, passe en S.
Pour le démontrer, il suffit de rappeler que
SM.SN' = SM,.SN' â (199).
Donc le point S ayant la même puissance par rapport aux cer-, clés C et Ci est sur leur axe radical.
225. Deux cordes anti- homologues de contact commun coupent Vaxe radical de O et 0', en un centre de similitude de C et Ci (Jig. 70). Ainsi MM, et N'N', se coupent en un point D qui est sur l'axe radical P et qui est un centre de similitude de C et C,.
La première partie de ce théorème est déjà démontrée (200), et la seconde partie semble aussi facile, car la corde des points de contact M et M, d'un même cercle O avec deux cercles C et C, passe à un centre de similitude de ces deux cercles (221): il en serait de même pour N'N',.
Mais on pourrait supposer que MM* passe par l'un des centres de similitude de C et C, et N'N', par l'autre, de sorte que le point de concours de ces droites ne serait pas un centre de similitude. II faut donc montrer qu'il s'agit du mêirfe point MM, et N' N', .
Considérons l'ensemble des trois cercles O, O' et C, où Ton sait que les points de contact M et N' sont des centres de similitude (192), et supposons, pour fixer les idées, quelle point S qui est en ligne droite (221) avec N* et M soit un centre de similitude externe : alors M et N' seront nécessairement (190) deux centres de similitude de même nature. 11 en sera de même, pour les points Mi et N,.
