II. — Triangle coupé par une droite

2. Une transversale détermine sur un triangle six segments tels, que le produit de trois segments non consécutifs est égal au produit des trois autres.

Il se présente deux cas, suivant que la transversale rencontre

ou ne rencontre pas le triangle. Dans le premier cas (fig. i), cette droite coupe deux côtés du triangle ABC et le prolongement du troisième; dans le second (fig. 2), elle coupe les prolongements des trois côtés : du reste, la même démonstration s'applique aux deux figures.

Du sommet C menons au côté AB une parallèle qui coupe la transversale en G. Les triangles semblables AEF, CEG donnent

^P = p=r, et cette proportion est vraie, même pour les signes.

En effet, si nous considérons, dans la fig. 1, les droites AF et CG, nous observerons qu'elles sont comptées sur des parallèles, c'est-à-dire sur la même direction et de sens contraire : donc, d'après le principe des signes (1), le premier rapport

AF

jrpr sera négatif; ensuite il est évident que le second rapport

AE . , 4 . r

^rpr sera aussi négatif.

Dans te fig. 2, on reconnaîtra de même que ces deux rapports sont positifs ; donc la proportion subsiste toujours. De même, les triangles BFD, CGD donneront