III. — Modifications pour les points et les droites

231. La solution précédente, due à Gergonne, est d'une grande simplicité et surtout d'une admirable généralité : mais pour voir comment elle s'applique à tous les problèmes secondaires que nous allons examiner, il faut rappeler ou étudier ce qui arrive quand un cercle dégénère en point ou en droite.

On a trouvé (191) pour distances du centre du plus grand de deux cercles aux centres de similitude, les expressions

08=00'.^^, ÔS^OO'.j^^/g 63).

Si le plus petit des centres devient un point, R' = o, et il reste OS = OS' = 00', c'est-à-dire que les centres de similitude d'un cercle et d'un point se réduisent à ce point lui-même .

Nous savons aussi (75) que l'axe radical entre un cercle et un point est la perpendiculaire sur la ligne qui joint ce point au centre^ élevée au milieu de la distance de ce point à sa polaire relativement au cercle.

232. On a vu aussi (76) que l'axe radical entre un cercle et une droite, dans laquelle dégénère l'autre cercle, est cette droite elle-même.

Pour trouver les centres de similitude, considérons (jig. 63) le cercle de centre passant en rf, et imaginons que ce centre s'éloigne à l'infini, ce point d restant fixe. Avant cette transformation, nous poserons

dO' = p, et dS = x,

ce qui fait que la formule

du n° 191, donnera

os=00 'r=r''

et par conséquent

IIO CHAPITRE IX.

Ainsi à la limite de R = oo , il reste x =p -h R', et Ton trouverait de même d& — p — R'. Dans ce cas les centres de similitude sont donc les deux points d' et d', et Ton a ce théorème : Les centres de similitude d'un cercle et d'une droite sont les extrémités du diamètre perpendiculaire à la droite.

233. On conclut évidemment de ce qui précède que Vaxe radical entre un point et une droite est cette droite elle-même.

De même, la droite représentant un cercle, on verra (231) que les centres de similitude entre une droite et un point se réduisent à ce point lui-même.

234. La recherche de Taxe radical entre deux droites est évidemment illusoire, car il n'y aurait pas de raison pour prendre une droite plutôt que l'autre : mais nous verrons (241) que cette considération ne sera pas nécessaire. La hauteur de 00' devenant arbitraire, deux droites sont le lieu de leurs centres de similitude interne : ceux de similitude externe sont sur deux parallèles à l'infini.

235. Enfin, relativement à deux points, la rechercha des centres de similitude est illusoire, car il n'y a pas de raison de choisir l'un plutôt que l'autre : nous verrons du reste (243) que cette recherche n'est pas nécessaire.

Quant à l'axe radical entre deux points, c'est évidemment la perpendiculaire élevée sur le milieu de leur distance.

236. La solution générale exige que Ton cherche le pôle d'une droite relativement à trois cercles (229). Il nous reste donc à considérer ce que devient le pôle d'une droite : i° relativement à un point; 2° relativement à une droite.

i° On sait que le carré du rayon d'un cercle est égal au produit de la distance du centre à une droite par la distance de ce centre au pôle de la droite : donc le premier facteur du second membre étant constant, le second doit devenir nul en même temps que le premier membre : ainsi le pôle d'tyne droite, relativement à un point, est ce point lui-même.' - 1

2° Considérons d'abord un cercle quelconque, et soit A un point de la droite dont on cherche le pôle relativement à ce cercle : menons une transversale quelconque ACD qui coupe le cercle en C et en D, C étant le plus rapproché de ces deux