IV. — Problèmes secondaires

237, Construire un cercle tangent à deux cercles donnés et passant par un point donné. — Ce point donné étant un centre double de similitude par rapport à chaque cercle, il n'y a plus que deux droites réunissant trois . centres de similitude, ce sont celles qui joignent ce point aux centres de similitude des deux cercles; on n'aura donc que quatre solutions.

238. Après avoir démontré le théorème que nous avons reproduit (222), Çauchy en déduit ( Correspondance de l'École Polytechnique, t. I, p. 195) une solution dont nous ne parlerons pas, parce qu'elle nous paraît moins simple que la précédente. Cependant ce théorème nous permet de résoudre trèsfacilement deux cas particuliers où le point donné se trouve:

4 12 CDÀPITRB IX.

i° sur Taxe radical des deux cercles; m* sur Tune des deux circonférences.

i° Soit le point A (Jig. 70) sur Taxe radical des cercles O et 0', et T, T les points de contact d'une tangente commune, on a vu (228) que si Ton joint AT, AT', ces droites coupent les circonférences aux points de contact cherchés M et N' : on aura de même les trois autres solutions.

i° Si le point A de \*fig* 69 vient en un point N' de la circonférence 0', la droite N'S passe toujours au point de contact M du cercle cherché C. Ainsi {fig. 71) la droite AS coupe la circonférence en deux points N et M : le premier donne ON parallèle à O'A, mais le second H est tel, que OM coupe O'A au centre cherché C.

De même S' donnera l'autre cercle C, ; on a vu que les deux autres centres étaient à l'infini,

239. Mener une circonférence tangente à une droite et à deux circonférences données. — Comme il y a six centres de similitude (232), on retrouve huit solutions ainsi que dans le problème général. Du reste, la droite donnée représentant deux axes radicaux (232), le point D de concours de ces axes radicaux sera à l'intersection de celui des deux cercles par la droite donnée.

Enfin, d'après ce qu'on a vu (236, 2 ) sur le pôle d'une droite relativement à une autre droite, on devrait mener de ce point Dune parallèle à la droite donnée; mais on voit que cette parallèle serait la droite elle-même : cela n'apprend donc rien, puisqu'il en résulte seulement que cette droite contient un point de contact. Mais, ayant trouvé, comme dans le problème général (229 et 230), les points de contact d'un cercle cherché sur les cercles donnés, où les joint aux centres donnés pour avoir le centre cherché.

240. Si même on veut éviter toute confusion, on peut n'employer qu'un seul point de contact. On est donc ramené au problème suivant (Jig. 7*2) ;

Connaissant une droite AB et un cercle 0, construire un cercle C tangent à la circonférence en un point donné M, et tangent aussi à la droite.

Soit A le point où AB est coupé par la droite MA, tangente aux cercles et C : puisque le cercle C est tangent aux deux

CONTACTS D ON CERCLE AVEC TROIS AUTRES. Il3

côtés de l'angle MAB, le centre est sur la bissectrice de MAB et à la rencontre de OM.

Seulement, le raisonnement qui précède s'applique également k la bissectrice ACt de l'a&gle B'AM, supplément de MAB : on obtient ainsi l'autre centre C