Mener un cercle tangent à un cercle et à deux droites

On sait déjà (232) que les perpendiculaires abaissées du centre respectivement sur chaque droite déterminent sur la circonférence quatre centres de similitude S, S', 8,, S x . En admettant (234) que les centres de similitude des droites, l'une par rapport à l'autre, soient à l'infini, ou sur les droites, chacun des côtés du rectangle S S' S» S', contiendra trois centres de similitude, comme l'exige la théorie générale. Ainsi nous trouverons encore huit solutions.

Ces deux droites étant des axes radicaux (76), leur intersection D est le point de concours de ces axes, et l'on n'a pas besoin de chercher celui de l'une par rapport à l'autre (234). Soit H, comme au n° 229, le pôle d'un côté du rectangle, tel que SSi, la droite DH marquera, sur la circonférence donnée, deux points de contact : mais on achèvera de déterminer les centres, comme au numéro précédent, par les bissectrices des angles que font les droites données.

242. Mener par un point un cercle tangent à un cercle et à une droite.

On trouvera comme précédemment ( 232 ) les deux centres de similitude du cercle et de la droite ; mais le point donné représente quatre centres de similitude, deux relatifs au cercle (231) et deux relatifs à la droite (233): il n'y a donc que deux lignes réunissant trois centres de similitude, ce qui donne quatre solutions. *

Soit donc M un point de contact déterminé par la méthode générale sur le cercle donné 0, et soit 0' le point donné : il est clair que la perpendiculaire menée sur le milieu de MO' coupera OM au centre cherché C.

243. Faire passer par deux points donnés un cercle tangent à un cercle donné.

Chacun des points donnés représentant deux centres de si-

] l4 CHAPITRE IX.

militude relativement au cercle, la droite qui joint les points sera la seule qui contienne trois centres de similitude : il n'y aura donc que deux solutions.

Le point de concours des axe& radicaux se trouve sur la perpendiculaire élevée au milieu de la distance des deux points: du reste, on voit qu'il n'y a pas à considérer les centres de similitude d'un point par rapport à l'autre (235). Ainsi la construction générale s'applique sans difficulté.

2W. Voici la solution directe et ordinaire de ce problème (fig. 73 ). D'un point E pris arbitrairement, mais d'une manière convenable, sur la perpendiculaire élevée au milieu de la droite qui joint les points donnés 0' et 0", décrivez un cercle qui passe par ces deux points et qui coupe la circonférence donnée en B et D : joignez BD qui coupe O'O" en A, et du point A menez au cercle C les tangentes AM, AM,. Ces points M et Mi seront les points de contact cherchés ; MO et MtO couperont la perpendiculaire aux centres cherchés C et G.

En effet, le cercle E nous donne