L'équation (o) du numéro précédent peut s'écrire

(1) 5x2(a6bX -f-BÔAx) — 2^

OU, en divisant par a/z, ce qui n'a pour effet que de modifier les modules des vecteurs constants,

(2) 6x2(aSbX -f- B0AX) zrrl.

Posons

(3) *\" 2(ASBX-i-BSAx).

La fonction *x rentre évidemment dans la classe des fonctions vectorielles linéaires que nous avons étudiées dans le Chapitre précédent, et elle est conjuguée à ellemême.

L'équation (2), par l'introduction de cette fonction *, prendra alors la forme très simple

On remarquera l'identité de forme avec l'équation que nous avons obtenue en étudiant l'ellipse au Chapitre VL Les fonctions * que nous avons rencontrées alors et celle qui figure dans la présente étude ne sont que des particularités de la fonction vectorielle linéaire générale du Chapitre X.

Plan tangent.

133. Prenons un point sur la surface, puis donnons au vecteur de ce point un accroissement quelconque dx.

Nous aurons, en différentiant l'équation de la surface et en tenant compte de ce que la fonction * est conjuguée à elle-même,

S</X*X -f- ÔX*r/Xr=:: 2 5r/x*X=: O.

Donc toutes les tangentes à la surface en X sont situées dans un même plan perpendiculaire à *x. Si Y est un

point quelconque de ce plan, y — x = — ? e étant un

infiniment petit réel. Donc l'équation du plan tangent peut s'écrire

c'est-à-dire, en vertu de Téquation de la surface,

(1) BY<t>X=zl OU

Il est évident, d'après cela, que *x est un vecteur normal en X à la surface,

136. Soit ON une perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent. Nous avons

et de plus, puisque N est dans le plan tangent,

Donc z = 7 — rr j et le module de ON ou de z*x est

^V=:-- 9 d'où N=(*x)"-^

Ainsi *x représente un vecteur normal en X; et la longueur de ce vecteur est l'inverse de la distance du plan tangent au centre.

De là encore on peut tirer aisément l'équation de la surface podaire, le centre étant pris pour pôle. Nous avons en effet

d'où, opérant par *-*,

Substituant dans l'équation de la surface,

(3) i5xN-**-*N-i=:i.

137. Supposons que des plans tangents passent tous par un point fixe P. Soit x le vecteur d'un quelconque des points de contact. Alors, d'après Téquation (a),

(4) 5x*pr=:i,

ce qui montre, *p étant un vecteur constant, que tous les points de contact sont situés dans un même plan perpendiculaire à *p, c'est-à-dire parallèle au plan tangent au point de rencontre de OP avec la surface. Ce plan, dont la section avec la surface donne la courbe des contacts, est le plan polaire du point P.

138. Soient maintenant des plans tangents parallèles à une droite donnée a. Le point x -hzk doit appartenir au plan tangent, quel que soit z. Donc, si nous prenons Téquation du plan tangent sous la forme ( a ), nous avons

J0x*(x -hZk] = I,

c'est-à-dire, puisque le point X est sur la surface,

La courbe de contact est donc située dans un plan qui passe par le centre. Ce plan est perpendiculaire à *a.

Si nous avions mené par le centre le vecteur parallèle à A jusqu'à la surface, la normale au point de rencontre eût été parallèle à *a. Donc le plan de contact est parallèle à ce plan tangent.

139. Dans l'hypothèse du n°137, on peut se proposer de déterminer le cône circonscrit correspondant au point P, c'est-à-dire le lieu des tangentes à la surface issues de ce point.

Le point de contact d'un des plans tangents étant X,

nous aurons, pour le vecteur d'un point quelconque de la tangente,

De plus,

Si Ton remplace x par sa valeur tirée de (6), puis qu'on élimine z entre les deux équations résultantes, on trouve aisément

j6y*t.j6p*p — 5y*y — Ôp*p = ^6y*p)-— 2St*p

ou, en ajoutant i de part et d'autre,

(7) (ô\*Y — i)(Sp*p — 1)=: (Sy*p — l)*.

Telle est l'équation du cône circonscrit cherché. Elle se réduirait à

si l'on transportait l'origine au sommet P.

Si dans l'équation (j) on remplace p para — A, puis si l'on fait croître a indéfiniment, il vient à la limite

(8) {0Y*Y— i)Sa*a — [0y*a)*.

C'est l'équation du cylindre circonscrit parallèle à la direction A.

Plans diamétraux et diamètres.

140. Proposons-nous de chercher le lieu des milieux des cordes parallèles à une direction donnée a.

Soit z le vecteur de ce point milieu ; les deux extrémités de la corde considérée auront pour vecteurs z H- 2:a, z — zk. Ces deux points appartenant à la sur-