LES SURFACES DU SECOND ORDRE

Équation générale des surfaces du second ordre.

133. Écrivons sous la forme cartésienne Téquatlon générale des surfaces du second ordre

( -f Cj,ri -f- c,.r,-f CjXa-f /=:o.

Soient X le vecteur d'un point quelconque delasurface et Ai, A2, A3 des vecteurs unitaires dirigés suivant les axes coordonnés. Nous avons, par la formule (21) du nM13,

X0AiA,A3 = AjSAjAjX -f- Aj^AjAiX -+- AjSa, AjX,

c'est-à-dire, en posant

tl

Us A3 A1AÎA3

= Bi,

Ua,a,

^AiAjA3

tÎA.A,

6AiA,A3

BiX 4- AjSb

iX 4- A3SB3X.

Donc

Bj,

Si nous remplaçons a:i,:r2, J^s par ces valeurs dans Téquatîon (i), nous obtiendrons des termes des formes (0Ax)^, Sax 0BX et 6 ex, plus un terme tout connu.

La première de ces formes étant un cas particulier de la seconde, il en résulte que l'équation la plus générale de Téquation des surfaces du second ordre peut s'écrire

(3) l$k\$BX-hScX=zg.

Si nous transportons l'origine en R, en remplaçant x par X -h R, l'équation deviendra

20Ax6BX-i- 0x[2(ASBR-f.B0AR) + c] + 25aR0BR = ^.

Si maintenant nous déterminons le vecteur r par l'équation vectorielle du premier degré

(4) 2(a6bR +bSar) +C:i= O,

que nous avons appris à résoudre dans le Chapitre précédent, l'équation se réduira à la forme

(5) 2ÔAXÔBX— /*,

et il est évident que l'origine est un centre, puisque l'équation n'est pas altérée quand on change x en — x. Dans ce qui va suivre, nous nous restreindrons exclusivement à l'étude des surfaces à centre unique, c'est-àdire aux cas où l'équation (4) admet une solution et une seule.

Équation d'une surface à centre unique, rapportée à son centre.