L. ~ Qttaternions . iq

face, nous aurons

j6(z 4- 2a)*(b 4- «a) = I, J5( z — «a) ♦(z — «a) = l, et de là, par soustraction,

C'est l'équation d'un plan passant par le centre. Ce plan diamétral, correspondant à la direction a, est donc parallèle au plan tangent à l'extrémité du diamètre parallèle à A.

141 . Soient BOC ce plan, B et G des points appartenant à la courbe d'intersection avec la surface. On a, en vertu de l'équation (i), quel que soit b,

(a) j6b*a = o, d'où £iA^B = 0.

Donc, A représentant le point de rencontre de la direction A avec la surface, le plan diamétral correspondant à la direction OB passe par A.

Si nous supposons maintenant que ce dernier plan soit AOC, nous avons

£c$B=:o ou j6b$c = o;

mais, puisque les relations (a) sont indépendantes du point B de la section BOC, on a déjà

JÔA*C = 0.

Par conséquent, le plan diamétral correspondant à la direction c n'est autre que AOB.

Nous avons ainsi trois demi-diamètres OA, OB, OC tels, que les cordes parallèles à chacun d'eux sont divisées en parties égales par le plan des deux autres. C'est ce qu'on appelle un système de demi^diamètres conjugués;

les trois plans qu'ils forment sont des plans diamétraux conjugués.

Il est à remarquer qu'ici, clans notre manière de parler, nous raisonnons implicitement ^ur un ellipsoïde, lorsque nous supposons que les points A, B, C sont réels; mais il est aisé de se convaincre, en y regardant d'un peu près, que cela n'altère pas la généralité des résultats, qui peuvent être étendus aux autres surfaces à centre unique.

142. En résumé, entre trois directions conjuguées a, B, c, nous avons les relations

(3) 6A*B = 6B*A3:::i^B*C=i:J6c*B=Sc*A = JÔA*C:=0.

Le vecteur c est donc perpendiculaire à la fois à *a et *B, et, par suite, il est delà forme ^tHA4>B; de même, *c est perpendiculaire à a et b et égal à çv'Uab. Ainsi,

(4) A 1= l£lJ*B*C, B = pIJ*C*A, c = H^I)*a4>B,

(5) *Ai=:tt'UBC, *B = t^'UcA, *C = ff' l) AB.

Il y a lieu de remarquer aussi la relation

(6) (t^'^-^tlAB^ M'D*A*B,

dont on saisira toute, l'analogie, nous pourrions dire l'identité, avec les considérations présentées au n° 126.

Nouvelle forme de réquation de l'ellipsoide.