Soit que nous écrivions *x = — T-x, ou symboliquement

(i) T = v/"=ri,

l'équation générale des surfaces à centre du second

ordre deviendra alors

Bx'¥^jL= -I,

ou, Yx étant, comme tx, conjuguée à elle-même,

SYxM^x=(M^x)* = — I, ou enfin

(2) eM^X==:I,

nouvelle forme de Téquation que nous appliquons désormais à l'ellipsoïde seul.

En écrivant

nous voyons que le lieu du point s, donné par

est une sphère de rayon égal à l'unité.

Ainsi, par la déformation que représente l'opération T, l'ellipsoïde peut se transformer en une sphère. Il est clair que, réciproquement, la sphère se transforme en un ellipsoïde au moyen de l'opération inverse

(5) 3fc=lY-ls.

Les équations (3) du n**142 deviennent alors

de sorte que, si p, q, u sont les rayons de la sphère correspondant à À, B, c, il vient

Spq ~ 0QR z= J$RP =r o.

Les rayons correspondant à un système de demi -diamètres conjugués forment donc un système orthogonal, et réciproquement.

144. Pour prendre dès maintenant une idée précise des relations entre les fonctions * et T, rapportons le vecteur X aux trois directions orthogonales ii, i|, I3 que nous supposerons dirigées suivantles axes de Tellipsoïde. Nous aurons

(6) X = .riii-+-xji8-f-jr3i3 = — (ii^iiX-f-ia^ijX + igôijx). La fonction *x prendra alors la forme

ce qui donne pour l'équation de l'ellipsoïde 5ix*x = i la relation bien connue

(8) rl + rl+^ = '-

Puisque *x= — ^'^x, l'opération T doit être telle qu'en la répétant deux fois et changeant le signe on obtienne le même résultat que par l'application de Topé- . ration ♦. Cela nous donne

comme il est aisé de le vérifier par un calcul très simple.

Donnons encore les relations suivantes, que le lecteur vérifiera non moins facilement :

(11) *-*X~rt'Jli0IiX-|-fl|lj0IjX -hiîjIs^IjX,

(la) T-*X=: — («iIi^IjX + ^jIjSljX -i-fl3l3^l3x),

Xr=T~*yx

^ ' ^ — (tfiI,5liyX-4-^2Ïj0l8Yx + rt3l30l3>Fx)'

- ai4 -

Ces fonctions sont évidemment toutes vectorielles et linéaires, et elles jouissent les unes et les autres des propriétés fondamentales que nous avons étudiées.

On voit pourquoi nous avons dû raisonner sur l'ellipsoïde pour conserver leur réalité aux trois valeurs «i, «2, «8 et de quelle manière il serait possible de passer de là aux deux hyperboloïdes.

Axes de rellipspide.

145. La fonction ^x, comme nous l'avons vu, représente la normale en X à la surface. Si donc nous nous proposons de trouver les points de la surface en lesquels la normale passe par le centre, il faudra obtenir les directions non altérées par l'opération *, c'est-à-dire les directions principales (128) de cette fonction *.

Elles sont évidemment les mêmes que celles de l'opération Y = )J—^, car, si txj = — ^^Xi, on aura nécessairement

Ces directions principales sont celles des axes de la surface, et elles sont orthogonales, les fonctions étant conjuguées à elles-mêmes.

Dans la transformation de la sphère en ellipsoïde ( 143), les directions des axes sont celles des rayons de la sphère que la transformation laisse invariables.