BE

et, d'autre part,

BK==BD+r.DA=:3A>+-j(2B-A).

Egalant ces deux valeurs,

2^A -t- 3xB= (3 — j)a 4- 2JB,

c'est-à-dire

d'où

Ainsi

BK=r|BE ou ER = lEB.

On aurait de même

De plus,

FGrrrfFC, DH = A DA .

DK=r5-DA, AK = fDA,

et, de même 9

BG=:fEB, CH = fFC.

4. Les droites joignant les milieux des côtés opposés d'un quadrilatère [plan ou gauche] se coupent par parties égales en un point qui se trouve situé au milieu de la droite joignant les milieux des diagonales.

Soit ABCD [fig.5) un quadrilatère; appelons respectivement E, F, G, H, K, L les milieux des droites AB, BC, CD, DA,

AC, BD. Rapportons les quatre points A, B, C, D à une origine commune quelconque, et soient a, b, c, d les vecteurs OA, OB, OC, OD.

Le vecteur du point E sera (Exercice % Remarque I) j

celui du point G, -, par conséquent, celui du milieu de EG

sera = -, •

De même le vecteur de F est j celui de H, ) et

celui du milieu de FH, , •

Enfin, K a pour vecteur » et L, • Donc le vecteur

j M. 1 xr» A -+- B -f- c -f- D

du milieu de KL est -. •

Ainsi, les milieux de EG, de FH et de KL coïncident en un

même point X, ce qui démontre le théorème.

6. Si par un point quelconque D [fig* 6), pris à l'intérieur d'un parallélogramme OBCA, on mène des parallèles EF, GH

Fig. 6.

aux deux cotés y les trois diagonales OC, EH, GF concourent en un même point,