OA=::OB.OC

c'est-à-dire que le produit de deux vecteurs rectangulaires est un vecteur perpendiculaire à leur plan. Toutes ces conséquences sont d'accord avec les définitions et conventions précédentes, et on les vérifie immédiatement en substituant à chaque vecteur la biradiale rectangle que ce vecteur représente.

Pour deux biradiales de même vecteur initial AOC, AOB, on a

AOC : AOB nr BOC

OC^OBOC

oa'oa"~ob'

Unités rectangulaires. — Propriétés fondamentales.

29. Prenons {fig- i5) un système de trois axes rectangulaires 0X| , 0X2, 0X3, tels que les rotations de X| en X2, de Xa en X3, de X3 en Xj soient positives par rapport aux axes OX3, 0X|, OX2 respectivement.

Soient OI| = ii, 0X2=^ i2î 013=13 trois vecteurs unitaires dirigés suivant ces axes. Un vecteur quelconque OM = M pourra se représenter par x^i^-^- X2H+ Xziz> si les coordonnées de M sont Xx, x^, Xz-

D'après ce que nous avons vu aux n*** 23 et 28, chaque vecteur unitaire, I3 par exemple, représente la biradiale 14012 formée par le rapport des deux autres ij et I2.

Donc

~ — ht *" — 'i» "" — 'f

On tire de là

'i^'i's* U^^^'j'i» 'i^'s'i- On a de même

iL--, ll-->, li--i

Ij — Ijl3> Ij Islii I3 Il Ij.

Enfin [26, formule (2)] le carré de chacun de ces vecteurs est égal à — i .

Fig. i5.

Nous pouvons réunir dans le Tableau suivant les relations fondamentales auxquelles satisfont les unités rectangulaires :

(1) Iil2=— I3, 1,13=— II, 1311=— Ij,

(2) ijii^ia, 1312= II» I1I3— 121

(3) ,l = il==,l=:-^l.

Nous vérifions ici que, d'une manière générale, la mukiplication d'un vecteur unitaire a par un vecteur unitaire perpendiculaire b a pour effet d'imprimer au vecteur a une rotation d'un angle droit autour de ^^ et dans le sens positif.

30. Lorsque des facteurs algébriques sont appliqués aux vecteurs, ces facteurs restent soumis aux règles habituelles de l'Algèbre. Par exemple, le produit de 5ti par 3 la sera i5i|i2= — iSis. Nous sommes conduit à cette règle par l'application même de nos définitions, en regardant toujours les vecteurs comme représentant des biradiales rectangles.

31. Les relations (i), (2), (3) du n^ 29 nous permettent de déterminer les produits d'autant de facteurs qu'on voudra, formés par les unités rectangulaires ij, I2, 13. Par exemple.

Or, on reconnaît qu'on arriverait au même résultat en écrivant

lîlhiiKiiïî) ou iiisl'iïi)!*

En un mot, on peut remplacer à volonté plusieurs facteurs par leur produit effectué, mais sans altérer l'ordre ; en d'autres termes, la multiplication des unités rectangulaires est associative. Nous reconnaîtrons bientôt qu'il en est de même de la multiplication des biradiales en général.

Nous attirerons encore l'attention du lecteur sur les produits remarquables

1,1213= I,l3li= Ijliljrr -t- I, 1,1,1, = l4l,Ia= I,Ial4= — I.

Représentation analytique des biradiales. — Qoatemions.

32. Nous représenterons souvent une biradiale, dans ce qui suivra, par une seule lettre, pour plus de concision dans récriture. Ce sera alors invariablement une majuscule italique, et nous aurons par exemple

Si nous effectuons la décomposition indiquée au n** 22, nous avons vu que la biradiale se composera

{Jig' II) de la partie algébrique — et de la partie rec-