OQ
tangulaire ^ •
Nous désignerons par BQ ou par Qo la première partie et par bQ ou Q, la seconde. Cette seconde partie, comme nous l'avons déjà reconnu plusieurs fois, peut être représentée par un vecteur.
Pour cette raison, on dit que ÙQ est la partie vectorielle ou symbolique de la biradiale, tandis que !&Q est appelé partie algébrique, réelle ou scalaire.
Nous avons, dans tous les cas,
(,) Q--S<?-+-tiQ--<?o-f-<?/.
Le vecteur Q^, si nous introduisons les trois axes rectangulaires de i^Jig- i5, peut s'écrire Çi i| -[-^212+ ^313 si nous appelons q^, Çz^Çz les coordonnées de son extrémité, si bien que la biradiale prend la forme
(2) Qz=: Qo-+-7iii + 7ïïiH-^3i3-
C'est à ce symbole à quatre termes, dont un réel et trois symboliques, que l'on donne le nom de quaterwioit.
Un quaternion est donc V expression analytique d'une biradiale.
33. Supposons maintenant que les deux vecteurs b et A du numéro précédent soient de même module, par exemple unitaires l'un et l'autre. Alors le rapport
OP
— {fig' II) sera égal à cosy si nous appelons y l'angle
OAB, et le module de t~ sera siny. Donc, si nous appelons Q un vecteur unitaire perpendiculaire à AOB et tel que la rotation de OA vers OB soit positive par rapport à ce vecteur, nous pourrons écrire
(3) -=: cosy H-Qsiny.
Telle est l'expression générale d'une biradiale unitaire, expression que nous appellerons quaternion unitaire ou verseur.
Reprenant maintenant la biradiale Q quelconque ,
nous pouvons la regarder comme égale au produit de son
€b module €Q == — par la biradiale unitaire qui aurait
même plan et même angle. Nous désignerons cette biradiale unitaire par la notation UQ. D'après cela, nous pouvons donc écrire encore
En posant, comme nous le ferons souvent, CQ = q, nous aurons ainsi, conservant pour le surplus les notations précédentes,
(5) (? = q(cosy 4- Qsiny).
Un quaternion est donc égal au produit de son module par son verseur.
Remarque. — En multipliant le vecteur a par le vecteur unitaire q qui lui est perpendiculaire , on le fait tourner d'un angle droit autour de q, dans le sens positif, sans changer sa longueur.
En multipliant le même vecteur parcosy -1- q siny, on le fait tourner dans le même sens et autour du même axe, non plus d'un angle droit, mais de l'angle y. De là ce nom de ^verseur donné à l'expression cosy-f-Qsiny. On voit du reste que ce verseur se réduit à q pour y = 1***".
34. D'après la définition des biradiales conjuguées (25), nous voyons [Jig* i6) que la conjuguée de AOB
Fig. i6.
sera AOB', le point B' étant symétrique de B par rapport à OA.
En représentant par Q, comme nous l'avons déjà fait, le quaternion ou la biradiale AOB, la biradiale conjuguée AOB', que nous représenterons par cj Q ou par Q, ne différera évidemment de la première que par le signe de la partie vectorielle, si bien que les relations (i), (a), (3), (4)> (5) des numéros précédents nous donneront
(6) <?=Ço— îiii — îjia— Î3I3»
(•j) IKQmcosy — Qsiny,
(8) tQ = t(?,
(,0) tiQ:=r-tl(?.
Avec cette notation, le théorème dun^S? s'exprimera par la relation
ou
