R-^S]P=RP-^SP

c'est-à-dire que la multiplication est distributive par rapport à l'addition en ce qui concerne le multiplicande,

36. D'après ce qui précède, nous pourrons constamment, dans tout produit, remplacer les quaternions par les éléments qui les composent, -écrits par exemple sous la forme «o -+- «< ij H- «2 12 H- «3 13 • Tout produit se résoudra ainsi en une somme de produits partiels dans lesquels figureront uniquement des quantités réelles et les unités vectorielles rectangulaires ij, I2, I3. Or, nous avons vu (31) que la multiplication de ces unités est associative.

Donc la multiplication des quaternions en général est associative, c'est-à-dire que dans un produit on peut remplacer une suite quelconque de facteurs par leur produit effectué, pourvu qu'on n'altère pas l'ordre des facteurs.

Par exemple,

PQRST = PQR[ST] —P[0RS) T— P{QR) [ST) —

Cette propriété est essentielle dans la théorie des quaternions, puisqu'elle établit que la multiplication, dans cette Algèbre spéciale, jouit de toutes les propriétés de la multiplication ordinaire, sauf la commutativité.

Plusieurs démonstrations directes et purement géométriques en ont été données; mais presque toutes sont d'une assez grande complication, tandis que la marche que nous venons de suivre, et qui consiste à passer par la propriété distributive pour établir la propriété associative en général, nous semble aussi naturelle et beaucoup plus simple.

Produits de deux vecteurs.

37. Soient OA = a, OB = b deux vecteurs unitaires {fis- ^7)» ^ ^^"^ angle; OD = d un vecteur unitaire

Fig. 17.

perpendiculaire à a dans le plan AOB ; OC == c un vecteur unitaire perpendiculaire au plan AOB et tel que la rotation de OA vers OB soit positive.

En décomposant b suivant OA et OD, nous avons

B =1 cosô.A-t- sin0.

Par conséquent,

AB = COSÔ . x' -4- Sin ô . AD

ou, d'après les propriétés établies plus haut (26, 29),

AB = — ;cos6 4- sinô.c).

Pour deux vecteurs quelconques, nous aurions évidemment

(l) AB=r — €A.€B(C0SÔ-f- sinô.c).

Ainsi, le produit de deux vecteurs est un quaternion.

On obtiendrait ce même produit en déterminant les coordonnées a^, ao? «s et i|, ^2» ^s de A et B par rapport à trois axes fixes rectangulaires et en développant le produit

(ârill-+-^7jlj-+- «3l3)(^lll -r- bili-h ^313)

d'après les règles et conventions établies précédemment. La relation ( 1 ) nous donne évidemment

(1) BkB= — tA.tB.COSÔ,

(3) ilAB== — ^A.tB.sine.c.

On voit que j6ab représente au signe près la puissance de l'origine par r-apport au cercle de diamètre AB, que t.iîAB est égal à l'aire du parallélogramme construit sur OA, OB comme côtés, qu'enfin la direction de iîAB est perpendiculaire au plan AOB.

En particulier, si deux vecteurs a,b sont rectangulaires, on a

j6abi= o,

et réciproquement.