U.AH.B=:U.AB
De même AH =fc-\-iy, d'où l'on déduit
(2) U.AU.c^zlI.uc.
De lày par soustraction [38 [ ^)],
1Î.AH(b— c) = lî.AB — lî.DCi=lî.AB-h>J.CD
ou
il(AH.CB) = lî(AE. AB) H- U(AC.AG),
ce qui démontre (37) le théorème énoncé, ces trois vecteurs ayant la même direction.
CoBOLLÂiRE. — L'addition des équations (1) et (2) donnerait
U.AH(b + c)=:U.AB — U.CD,
c'est-à-dire que, I étant le milieu de BC, la différence des aires des deux parallélogrammes ABDE, ACFG est équivalente au double de celle du parallélogramme construit sur AI, AH.
Remarques, — I. Dans les problèmes de ce genre, il est essentiel, comme l'on voit, de tenir compte des signes des aires de la façon la plus attentive.
II. L'opération double, consistant comme ci-dessus à multiplier une expression par b, puis à prendre la partie vectorielle du produit, peut se représenter, en un seul symbole, par lî ( ) b. On peut de même employer les symboles 1î.bX,5( )b, S.bX, . . ., comme nous aurons fréquemment occasion de le faire par la suite.
li. Soient ABC un triangle, G le point moyen des sommets , O un point quelconque dans l'espace. On a
gr(AB« -h BC« + CA«) = 3gr (0A« -f- OB' -+- 0C«) — gr (30G)*.
Posons
OAr=A, 0B=:B, oc— C.
Alors
AH-B-4-Czri30G = 3G
et
(\-f-B4-c)^=: A«+B«4-C^-f- 2S(AB-f- BC + Ca) = (3g)*.
D'un autre côté,
z= 2(a* ■+ b'H-C^) — 26(aB -4-BC-f-CA),
d'où, par addition,
(B-A)*-4-(c-B)«-f-(A-c]«:zr:3(A« + B« + c2)-(3G)S
ce qui démontre le théorème, en changeant tous les signes pour passer aux modules.
15, La somme des carrés des côtés d'an quadrilatère [plan OH gauche] est égale h la somme des carrés des diagonales y plus quatre fois le carré de la droite joignant les milieux des dingo nales.
Soit ABCD le quadrilatère. Posons AB =:r a, AC = b, AD z=z c. Les côte's sont représentés par les vecteurs a, b — a, c — b, c, les diagonales par b et c — a, et la droite qui joint leurs milieux
par • Or, on vérifie aisément que
m B'-f- (c — a)*-!-- (A-fC — b)',
d'où le théorème énoncé, en passant aux modules.
Relations entre les parties constituantes d*nn quaternion. Nouvelle notation d'un verseur.
42. Reprenons Texpression d'un quaternion quelconque jiy soit en le décomposant en ses quatre éléments ,
(l) ^ = fl'oH- «1 II -f- «fjl2 -f- /73I3,
soît en mettant en évidence lemodule a =: (lA, V angle a et Vaxe a,
( 1 ) A = r[ cos a -f- sin a . a ) ,
soit enfin en récrivant
(3) J = SJ-h\}Az=z^J.UJ;
la comparaison de ces formules nous montre que
(4) 5v^z= «Q=:acosa,
(5) ll-^rrr ûTiii -h ^ZgisH- ^3^3= a sina.A,
(6) t.ti^— v/«î -i'^l -hrt|==asina.
Delà
(8) \}J — ZAsina.U/i,
(9) ^^:zz v/(6u4)«-i- (t.U^)*= ^(6^)2- (tJ^jS
(10) %J-.s/al-ha\ -^ al -h al
-43. Soient AOB, BOC deux biradiales unitaires coplanaires, que représentent les verseurs cos0 4- sinS.n, coscp4- siny.D respectivement, Taxe d étant évidemment le même de part et d'autre.
Il est évident par la seule inspection de la figure, et l'on reconnaît également par le calcul de
(cosô -+- sin^.D) (cosy + sin^.D),
que ce produit n'est autre que le verseur
cos(0 + y) -f-sin(0 4- ç>)d.
Dans ce cas particulier des biradiales coplanaires, l'ordre des facteurs, comme on le voit, n'influe pas sur le produit.
Si nous posons d'une manière générale
(12) /(j:) =:cosj: -+- sin.r.D,
le résultat ci-dessus nous montre que
Cette propriété, caractéristique de la fonction exponentielle, nous amène à représenter le verseur
cosj: H- sin.r.D
par la notation n^, l'angle droit étant pris pour unité. D'après cela, nous aurons, dans l'exemple ci-dessus,
AOB — Ti\ BOC =: D?, AOC — D« D? - D«+?.
Cette notation exponentielle d', pour exprimer un verseur quelconque, est souvent fort commode.
Si l'exposant 9 est nul, le verseur est égal à l'unité; si 6 = i**"", le verseur se réduit à un vecteur; si 6 = 2^*^, on a
D'une manière générale,
D-^nr — D, D"' i::: — I , D-'=:
D-^zrz-
En un mot, d* exprime la rotation de toute figure plane perpendiculaire à d, s'effectuant autour de cet axe et avec une amplitude 6. Cette simple remarque nous montre encore qu'on a
D« et D~* sont évidemment des verseurs conjugués.
44. La notation exponentielle des verseurs nous permet de concevoir un quaternion quelconque comme une puissance d'un vecteur; car, si
^ = a(cosa-h sina.A) =raA*,
nous pouvons poser
et, par conséquent, nous avons
(l5) J=zjl'-
— a7 — il est clair que k* n-est plus unitaire, en général.
Vectexirs, verseurs et quaternions réciproques.
45. Nous appelons (25) réciproque d'une expression quelconque le quotient de l'unité par cette expression.
D'après cela, et en vertu de la définition de la division (28), nous aurons, en appelant ^ l'expression donnée et X sa réciproque,
JX — i.
Soit d'abord un vecteur unitaire a. On a
d'où
Le réciproque d'un vecteur unitaire est donc ce vecteur changé de signe. « Réciproque » et « conjugué » sont, dans ce cas, identiques.
Pour un vecteur quelconque, on aurait a^ = — (^a)^.
et, par conséquent, le réciproque d'un vecteur quelconque s'obtient en changeant le signe et en divisant par le carré du module.
S'il s'agit maintenant d'un verseur
%A = COS0 4- o sinô = d'^, on a (43)
d'où
X = jy^ =z COS0 — D sin 0.
Ainsi, le réciproque d'un verseur s'obtient en chan-
géant le sens de son angle. Là encore, il n y a pas de différence entre le réciproque et le conjugué.
Le réciproque d'un quaternion A est évidemment le
produit de ^-- par le réciproque du verseur %A\ ow en-
Remarques. — L La multiplication de deux quaternions réciproques est commutative, puisque (25) il en est ainsi pour les biradiales que ces quaternions représentent.
IL Si B est le réciproque de A^ A sera le réciproque de B, Car si ^ =r a a*,
et le réciproque de B est
r- A«=aA« = ^.
A IIL Le quotient - de deux biradiales quelconques
peut se mettre sous la forme —A. En effet, soit - = Q,
d'où ^=: BQ. Opérant par -^ X, il vient
Mais il faudrait bien se garder d'écrire pour ce quotient A -j cette expression RQ-^ étant en général très différente de Q.
EXERCICES
i6. Les centres des triangles équUatéraux construits extérieurement sur les trois cotés d'un triangle quelconque forment un triangle équilatéral dont le centre de gravité est le même que celui du triangle donné.
Soient ABC le triangle donne, A',B',C' les sommets des triangles e'quilatéraux, P, Q, R leurs centres, k un vecteur unitaire perpendiculaire au plan de la figure.
On a
CA'r:-CB.K^(*), BA':r:=CB.K.^,
ce qui nous donne
Rapportant tous les points à une origine commune 0, on a
et
si nous choisissons pour le centre de gravité de ABC, ce qui donne a -f- b -h c =: o. Donc
(2) p:rri[(B-c)R^-f C-aJ,
et de même
(*) Il importe de ne pas oublier que l'unité d'angle est toujours Tangle droit.
— 6o — Multiplions la relation (2) par k' :
pk^=i[(b-c)r'+(c-a)il^]
en vertu de la relation ( 1 ) . De même,
QK = R, RK* = V OU - r=r - zir -j
ce qui démontre que le triangle PQR est bien équilatéral.
L'addition des formules {2), ( 3 ), (4) donne p -h q + r 1= o, de sorte que le centre de gravité de PQR est Torigine, c'est-àdire le centre de gravite' de ABC.
Remarque^ — Cette dernière propriété peut s'étendre aux cas de triangles semblables quelconques construits sur les côtés d'un polygone plan. Le point moyen des sommets extérieurs de ces triangles sera le même que le point moyen des sommets du polygone. En effet, en appelant k. un certain vecteur (non unitaire) perpendiculaire au plan de la figure, on pourra écrire
BP=rBA.K.*, p — b~(b— a)k*,
et de même
d'où, par addition,
(pH-Q-f-R-+-...-hu) — {B-f-C-f-...H-M4-A)=0,
ce qui démontre la propriété en question.
17. Trouver le cosinus d'un angle d'un triangle sphénque^ en fonction des côtés.
— 6i — Soient ABC le triangle et O le centre de la sphère (de rayon égal à l'unité]. On a
COB=:COA.AOB ou - = -.-.
Les parties réelles de -^ -9 - étant respectivement cos«, cosô, cosc, nous pouvons écrire
cosa -f- lî - == f cos ^ -f- U - j f cosc H- lî - | •
Prenant les parties réelles des deux membres,
cosflf = cos b cosc -+-j5(1î-»1î-|»
Or ti - î lî - sont deux vecteurs respectivement perpendicu-
laires aux plans COA, AOB et dont les modules sont sin b, sine. Donc (37)
: sin ^ sin ^ COS A
et
cosû = cos^ cosc -h sin 6 sine cos A.
Il est essentiel de remarquer que l'angle des vecteurs lî - 9
