AB.BC.CD.DE.EA^^^AT.AU.AV
ce qui (exercice 18| corollaire II) nous donne encore un vecteur dans h plan tangent.
Expression géométrique de 5 abc.
49. Soient a = OA, b = OB, c = OC trois vecteurs de même origine, a, b, c leurs modules, 6 l'angle COB, (j) Tangle que forme OA avec le plan COB.
Nous avons
ABC zz: A ( i0 BC 4- lî BC ) riir A 6bC -f- A tl BC.
La première partie du second membre est un vecteur. Donc, prenant les parties réelles (ou opérant par S. ), il vient
ÔABG ==5.AtlBG.
Or (37) to BC est un vecteur perpendiculaire au plan COB, tel que la rotation de C vers B soit positive, et dont le module est bc sin6. L'angle de OA avec ce vecteur sera complémentaire de 9, et, par conséquent (37), on aura pour la partie réelle du produit
B ABC m it abc sin Q siny.
Mais a sin <p représente la hauteur ( issue du sommet A) du tétraèdre OABG; bcsinO représente le double de la base OBC.
Donc ÔÀBC représente, avec le signe ±, le volume du parallélépipède construit surOA, OB, OC, ou encore six fois le volume du tétraèdre OABG.
Les signes dépendent de l'angle que forment a et IIbc. Par suite, en convenant d'aOecter d'un signe les volumes
eux-mêmes, il nous sera permis d'écrire, en supprimant le signe =h,
J0ABC=z6volOABC.
Il est aisé de reconnaître, d'après cela, dans quels cas les volumes devront être considérés comme positifs ou négatifs. Il suffira de regarder le triangle ABC en se plaçant du côté opposé au point O, c'est-à-dire en dehors du tétraèdre. Suivant que la rotation dans le sens ABC sera positive ou négative, le volume OABCsera lui-même positif ou négatif; c'est ce qu'on reconnaît immédiatement par une simple inspection de la figure, en se rappelant bien les règles et conventions précédemment établies.
50. Il est à remarquer que le volume OABC peut aussi bien s'écrire |0(OA.AB.BC) que|S(OA.OB.OC),
En effet,
a(b — a)(c — B)r=: ABC — AB^ — A* C + A* B,
et l'on voit que la partie réelle se réduit à 0abc.
51. Si OA, OB, OC sont dans un même plan, on voit que 5 ABC = o-, réciproquement, lorsque ôabc = o, aucun des vecteurs a, b, c n'étant nul, ces trois vecteurs sont nécessairement coplanaires.
Cela nous fournit donc un moyen très simple d'exprimer la condition pour que trois vecteurs soient situés dans un même plan.
Interprôtatioii de U [llAB.bBc].
52. On sait (37 ) que ti ab = d est un vecteur perpendiculaire àA etB; bBc = Eestde même un vecteur perpendiculaire à b et c ; par conséquent, tl de sera un vec-
leur à la fois perpendiculaire à d et s, qui ne pourra avoir une autre direction que b.
Ainsi
tl(tlAB.bBc) z:i:^B.
Le module de ce vecteur est
4aireOAB X aireOBG X sinB, en appelant B le dièdre OB.
Relations avec les cpordonnées cartésiennes.
53. Soient j^o ^2 > -3:3 les coordonnées d'un point X rapporté à trois axes rectangulaires. Le vecteur OX = x pourra alors s'écrire, si Ton se reporte aux notations précédentes, sous la forme
X =: ^r^ii 4- ^jis -4- ^1:313.
Si nous opérons par^.iiXjles deux derniers termes du second membre disparaîtront et nous aurons
jG ij X = — X, .
De même,
Donc
X— — (l,0IiX-f-I,5l2X-+-l36l3X),
quel que soit x.
On a, en particulier,
(5liX)^+(ôl,x)M-(ôl3x)'=(ax)«^xî-i-XÎ4-^J.
On pourrait aussi mettre le vecteur x sous la forme
X — J^i Aj -f- 0^2 Aj + X3 A3,
^o ^2> ^3 représentant les coordonnées du point Xpar rapporta un système d'axes non rectangulaires, et A|y Aa, A3 étant des vecteurs unitaires suivant ces axes.
54. Pour le cas des coordonnées rectangulaires, si x = x^\^ -f- J:2i2"f-X3i3et Y=j-, I| -i-j^,î,-{-j8i8>nous avons, en effectuant le produit et prenant les parties réelles,
car tous les autres termes sont vectoriels et par conséquent disparaissent.
Cette formule est d'un assez fréquent usage.
EXERCICE
21 . Trouver le volume du tétraèdre ayant trois de ses sommets sur les trois axes coordonnés rectangulaires y en Ai, A ^f A„ et le quatrième en un point quelconque X.
Il est facile de voir (49) qu^en général
volXAiA2A3= volOAjAjAj
-4- volOAaAjX 4- volOAtA|X + volOAiAjX,
quel que soit 0, pourvu qu*on tienne compte des signes des volumes^ Remplaçant A|,A2, A3 par a^i^, a^i,, ^3X3 etx par
.^rjii H- X2 1,4-0:313
respectivement, il vient
volXA|A2A3={Ô[ai^ja3ÏiÏ2Î3
-h(^i3«,i3ijH-a,ûiiîii-f-aia3iii3)(a:ii, -|-a:jij-|-4r3i3)]
__ aiOt^zf 'lîl f! «, f2\ .
Telle est l'expression du volume cherché.
EXERaCES PROPOSÉS SUR LE CUAPURE II.
1 . Sur les côtés d*un triangle ABC, rectangle en A, on construit les carrés extérieurs ABFGy ACHK, fiCED : démontrer que les droites BK, FG se cou|)ent en un point O situé sur la hauteur issue du sommet A.
