BO.CO BK.CF

grandeurs de et - sont égales.

Au Ijvi

3. Démontrer, dans le même cas que celui des exercices précédentSy que gr ( DF* -f- GH* -f- KE* ) est égale à trois fois la somme des carrés des côtés du triangle et qu'il en est ainsi quel que soit l'angle A .

4. La somme des carrés des trois cotés d'un triangle est égale à trois fois la somme des carrés des droites joignant les sommets au point moyen.

5. Dans tout quadrilatère, plan ou gauche, le produit de deux diagonales et du cosinus de l'angle qu'elles comprennent est égal à la somme ou à la différence des deux produits correspondants pour les couples de cotés opposés.

G. Si a^bf c sont trois arêtes contiguës d'un parallélépipède rectangle, le carré de l'aire du triangle formé par leurs extrémités est «• b^ -T- b*c*-\- c^a^ .

7. Si deux couples d'arêtes opposées d'un tétraèdre sont séparément à angles droits, il en sera de même pour le troisième couple.

8. Chaque arête d'un tétraèdre est supposée égale à l'arête opposée : démontrer que les droites joignant les milieux des arêtes opposées sont perpendiculaires sur ces arêtes.

9. Du sommet d*un tétraèdre OABG on mène jusqu'à la base une droite qui forme des angles égaux avec les trois faces OAB, OBC» OGÂ : démontrer que les aires OÀB, OBC, OCA sont proportionnelles à DAB, DBG, DGA.

10. Soient A) A, ... A;, un polyèdre inscrit dans une sphère^ R le centre de cette sphère, O un point quelconque, G le point moyen de Ai, A^, . . . , A^^ : démontrer que la puissance du point O par rapport à la sphère circonscrite au polyèdre est égale au double de la puissance de par rapport à la sphère de dia-

1 ^« . n . OAÎ-^OA|-f-,. .^-OAJ

mètre GR, moins lexpression — ' •

11. ABGD est un tétraèdre, A', B', G', D' les centres de gravité des faces BGD,GDA, . ... La somme des puissances d*un point quelconque par rapport aux sphères ayant pour diamètres A A', BB', GC', DD', et la somme des puissances du même point par rapport aux sphères ayant pour diamètres les six arêtes du tétraèdre, sont entre elles comme 7 est à 3.

12. La somme des puissances d'un point quelconque par rapport aux sphères ayant pour diamètres les quatre côtés d'un quadrilatère gauche est égale à quatre fois la puissance du même ])oint par rapport à la sphère ayant pour diamètre la droite qui joint les milieux des diagonales.