LA LIGNE DROITE ET LE PLAN
Éq[uation de la ligné droite.
55. Soient c un vecteur (unitaire ou non) parallèle à la droite AX {fig* 20), et a le vecteur d'un point
Fig. 20.
donné A de cette droite. Il est évident que le vecteur de tout point X de cette droite, ou OA 4- AX, est de la forme
(1) X := A -h XC,
Réciproquement, en donnant à x toutes les valeurs réelles possibles, cette équation (i) représentera tous les points de la droite AX. C'est donc l'équation de cette droite.
56. Si la droite est déterminée par deux de ses points A et B (au lieu de l'être par un point et par sa direction), on aura pour équation cette autre forme
(2) X = A -h 4:(b — a) z= (i — x)a -:- XB,
67. Si la droite est déterminée par la perpendiculaire OD abaissée de Forigine et donnée en grandeur et en direction, Téquation (i) devient
et, en opérant par 5.d X,
(3) 0DXr:z:D«=- («d)*,
car 5dc = o (37), puisque c et d sont perpendiculaires.
Remarque, — Il faut évidemment ajouter à l'équation (3) la condition que la figure est située dans un plan déterminé.
58. Soient donnés un point A de la droite et deux droites LL', MM', auxquelles elle doit être perpendiculaire.
Appelons l, m deux vecteurs quelconques suivant LL', MM'; le vecteur tiLM sera perpendiculaire à toutes deux (37), et, par conséquent, l'équation (i) deviendra
(4) X=: A H- .r.llLM.
Équation du plan.
59. Si OD = D est un vecteur représentant la perpendiculaire à un plan abaissée de l'origine, nous avons, en appelant X un point quelconque du plan, 6d(x — d) = o, c'est-à-dire
(l) 5dX=i:D* ou 6-zr;l.
L'équation du plan a donc la même forme que l'équation (3) dun'» 57.
Remarques. — I. Si Téquation d'un plan est Bdx = A- (une constante) y d est un vecteur perpendiculaire au plan.
IL Lorsque le plan passe par l'origine, Téquation (i) devient évidemment
5dx = o,
D représentant alors un vecteur fini quelconque de direction perpendiculaire au plan.
IIL En appelant p un vecteur quelconque situé dans le plan ou parallèle au plan, on a
Sdp :=2 o.
60. Supposons le plan donné par trois de ses points A, B, C. Alors, X étant un quelconque des points du plan, les trois vecteurs AX, BX, CX sont coplanaîres; et, par suite (51),
En développant le produit, on reconnaît que cette équation peut s'écrire
6x ( AB H- BG ^- CA ) = 0ABC
ou encore
(2) Sx(tlAB -\- bBC 4- Uca) rrz0ABC.
En comparant avec l'équation (i), on voit que
tlAB+ tosG + ticA
est perpendiculaire au plan, et que le vecteur perpendiculaire issu de l'origine est, en grandeur et en direction,
6ABc(tlAB -4- t>BC 4- tlCA)-^
— 7^ — On peut encore (14) mettre Téquation d'un plan, passant par trois points donnés, sous la forme
(3) Xt=rfA ^- «B+ fC,
les indéterminées ty w, v satisfaisant à la condition
61 . L'équation d'un plan passai) t par un point donné A et perpendiculaire à une droite donnée d est (.59) de la forme
£iDX =: X.
Mais, puisque le plan passe par Â, on a
ÔDArzz/,
d*oii, par soustraction,.
6d(x — a) z=zO ou
(4) Sdx — 6da.
62. Supposons que le plan passe par un point donné Â et soit parallèle à deux droites données b etsi. Joignons AX; les trois vecteurs x — a,b,B| sont coplanaires. Donc l'équation est
(5) J6i(x— AJBBir^O OU 6 (x — a) UbBi r=: O.
On peut encore l'écrire
(6) Xr=: A -T- JTB H- .riBi.
63. Soit qu'on demande l'équation d'un plan passant par deux points donnés A, B, et perpendiculaire à un plan donné dont l'équation estons = A^.
Les trois vecteurs x — a, a — b et d sont coplanaires,
X étant un point quelconque du plan donné. Donc
5(x — a)(a-- b)d = o ou
(7) Ôx(a — b)d = o
est Téquation cherchée.
Perpendiculaire abaissée d*nn point sur une droite ou snr nn plan.
64. Soit qu'on abaisse de Forigine une perpendiculaire sur la droite [55 (i)]; D étant le pied de cette perpendiculaire, nous avons
k-h xc et
Sdc =
Donc,
opérant par
^.cX,
— i0CA 4-
xc\
d'où
Bck
Quant à la longueur de cette perpendiculaire, nous l'aurons en opérant par 6 . d X sur l'équation de la droite, ce qui donnera
d' — j6iAD ou — [€d)*z=3Q:d.5aUd,
d'où
(1) €Dr^-0AllD.
65. Pour la perpendiculaire abaissée de l'origine sur un plan, on a toujours, avec l'une quelconque des formes précédentes, la direction de la perpendiculaire, et la longueur sera donnée par la formule (i) ci-dessus, a étant le vecteur d'un point quelconque du plan.
66. Pour résoudre le même problème par rapport à un point quelconque P au lieu de Torigine, il suffira évidemment, dans les résultats, de remplacer le vecteur de chaque point, m par exemple, par m — p. Ainsi la longueur de la perpendiculaire abaissée du point P sur un plan sera
-j6i(A-p)ttD=0(p-A)ttD.
Par exemple, l'équation d'un plan étant donnée sous la forme 6dx = /r, le point - appartient à ce plan, et la distance du point P au même plan sera
6^P-^^«D ou ^(5pd-X).
Perpendiculaire commune à deux droites.
