Soient
X=:A-hXB, Xj = Al -h J"i Bj
les équations de deux droites, et PPi la perpendiculaire commune. Cette perpendiculaire aura même direction que t^BBi (58). Donc
p — Pi = A — Al 4-XB — XiBi= y^BB^,
Opérant par 5 . bb < X ,
i0.BBi(A — Aj) =76(bBiUbBi) =z=^{tlBBi)';
de là
^ 0.BBi(a— A,) P-Pl=:jbBBi= ^^
Ce vecteur p — Pi étant ainsi complètement déterminé et égal à d, par exemple, il vient
A — Ai.-hXB — XiB^z=ZD,
ri=A|-t- jr— »!.
Opérant par u . b X, on trouve Xt = —n >
et
1|.b(a — Al — d)
De même
IIbbi
La perpendiculaire commune se trouve donc déterminée par ses deux extrémités.
Intersection de deux plant.
68. Soient deux plans passant par l'origine et ajant pour équationsBAx = o, j5bx = o. L'intersection passe par l'origine et elle est à la fois perpendiculaire aux deux vecteurs a, b. L'équation de cette intersection est donc
X r:-^ IIaB.
69. Soient maintenant deux plans quelconques ayant pour équations
(1) ÔAXT-:a,
(2) $BXz=b.
L'inlersectiona toujours pourdirection tlAs, et il suffit, par conséquent, d'en déterminer un point quelconque. Soit x=uA-|-^'B le vecteur de ce point. Opérant par 6 . A X, puis par S! . b X, nous aurons
rtr=z aA'+ p6ab, b r- pb^ -h uSab; de là
bSAB — <2b' rt0AB — ^A*
(6ab)*-a'b«' ~ (6ab)*-a»b'
ou [39,(7)]
"^ (tiAB)« ' "^~~l^^~'
Les coefficients u et p» étant connus, Téquation de l'intersection sera
(3) X 3= «A -f- «^B -4- jcb AB.
Remarques. — I. Le vecteur ma-H^'b représente la perpendiculaire abaissée de l'origine sur Tinlersection des deux plans.
IL L'équation d'un plan passant par l'origine et perpendiculaire à l'intersection est
Sxb AB nr O OU 0X AB == O.
IIL L'équation d'un plan passant par l'origine et par l'intersection des deux plans (i) et (2) s'obtiendrait en . écrivant
En effet, cette équation est celle d'un plan passant par l'origine, et, si l'on y prend x tel que Bax = a^ il s'ensuit Sbx— b.
EXERCICES
22. Lieu des milieux des droites se terminant à deux droites données.
Si X = A 4- ^B, Xi :rz Aj -i- jrjBi sout les équatious des deux
droites (55), le milieu y de XX j sera donné par «Donc
A H- At X Xa
Yr= f--BH Bj,
— 8o — équation d'un plan [62, (6]] parallèle à b et b^. Le lieu cherche est donc un plan .
Remabqoe. — Si l'on avait B| || b, Téquation ne contiendrait plus qu'un coefficient indéterminé, et le lieu cherché serait, non plus un plan, mais une droite.
23. Lieu des milieux des droites de longueur donnée^ se terminant h deux droites données.
Prenons pour origine le milieu de la perpendiculaire commune, et soient A, Aj les extrémités de cette perpendiculaire.
Alors X = A -+-'xB, Xi= — A + a?i Bj, et l'on a de plus S ab = o, j^ABj rr= o. Le vcctcur du milieu de XX i est
Y— 1(j:b-4- J-iBi).
Delà
(1) 0AY— o,
(2) 26BY-- — JT-hXiÔBB,,
(3) ^BjY r=:X0BBi — -^1' •
en supposant que nous ayons pris pour b, Bi des vecteurs unitaires.
De plus, Q^(x ■— Xj ) rr: €^(2 A -i- xB — j:, Bi ) rrr Ar, et, en élevant au carré,
(4) 4'^' "^ •^**' — •^1*1 — ^ a'J'i0BB. = — k'.
Si Ton résout les équations (2), (3) par rapport à x^x^ et si Ton porte ces valeurs dans l'équation { 4 ) ï on aura une équation du second degré renfermant y. Nous verrons plus loin que les équations de cette forme représentent des surfaces du second ordre.
Le point y étant situé en outre dans le plan que représente l'équation (i), le lieu sera Fintersection d'un plan et d'une surface du second ordre, c'est-à-dire une conique. Par la nature même de l'énoncé, cette conique ne peut s'étendre à l'infini; c'est, par conséquent, une ellipse.
24-. Lieu d*un point tel que le rapport de ses dis tances à un point fi.re et à une droite fixe soit constant.
Soient O le point fixe (pris pour origine ) , OA une perpendiculaire à lii droite, b un vecteur unitaire suivant cette droite, X un point du lieu, XQ la distance du pointXàla droite. Nous avons
XQ = y — X :: V -h JB — X — .l'\.
Opérant par 5 . a X, cela nous donne
A- — $AX =: .r A-,
car JÔAii -- o. Mais la conililion du pi*<>l>>lènie^— -- ^=z k est exprimée par
On a donc
A^V«:z:rX*(A«— Sax)S
otjuation d'une surface du second ordre.
CoROLLAiRK. — En coupaut cette surface par un plan, on a le même lieu géométrique, restreint à ce plan. C'est donc une conique.
25. Un plan mobile détache d'un trièdrc tri rectangle un té^ traèdre de volume constant. Trouver le lieu du pied de la hauteur de ce tétraèdre, abaissée du sommet du trièdre.
Soient «iii, ajij, «3I3 les vecteurs des points d'intersection du plan mobile avec les trois arêtes. Alors k^Kj^s^^j ^^^ constante. Si X est le pied de la hauteur, nous avons
Sa(x — «iii; = 0, d'où
x^ =. «iSxij, et de même
x'ri^ajSxij, X'::::: a^Sxij.
