OL=L= > 0M = M

Soit ON rzr K = ^ B le point où le plan sécant rencontre Tarête OB. Alors Téquation de ce plan sera

[1] X r= JTL -h JM-4- 3W =X hr h ^AB,

avec la condition

Le |>oiiit P appartenant à ce plan et à la droite AC, nous

avons

¥ = c -\- u{x — c] ^^ JC - -{- j- h Zlhf

d'où

fil h2A = 0, «=-» I — «==:-•

Résolvant les équations (3), (4) par rapport à .r, v, 3, u^ on a, pour «, M =^ 1 — ).. Ainsi les vecteurs l, w, m, p sont respectivement

A ■ B -hC . , / .V

-5 /B, î /C-l-ll— A A.

Donc

bLXP-- — bABC, bPAM^i:^- — ^ SabC,

S Mcp =^ 5 abc ,

et, par addition,

ÔLNP + 6pnm 4- 6 MCP =1 ^Sabc;

ce qui démontre, d'après la formule (i), la propriété énoncée.

Cobollaire. — La relation \ -^ uj=zi nous donne la propriété ON CP OB "^ CÂ ~ *

27. Si Von élè\*e sur chacune des faces d* un tétraèdre, soit ex* térieurement^ soit intérieurement, des perpendiculaires pmportionnelles aux aires de ces faces, la somme des vecteurs ainsi obtenus est nulle ; autrement dit, ces perpendiculaires, convenablement transportées parallèlement à elles-mêmes, formeront un quadrilatère fermé.

Soit en effet OABG le tétraèdre; élevons OA^Ubcitza', OB' = IIca=:b', OC— Uab=o'

et enfin

OD'-^U AC.AB):^tî(c-A; b-a;^-.d'.

Nous avons

u'::^UcB-UtA-UABn:. - ( a' -f b'H-c').

Donc

CoROLLAiBE. — Cc llléorème peut être étendu a un polyèdre quelconque, car ce polyèdre est toujours décomposable en tétraèdres, et, quant aux faces communes à deux tétraèdres, elles donneront lieu ii deux vecteurs égaux et opposés, puisque Ton doit élever toujours les perpendiculaires, soit à l'extérieur, soit à l'intérieur.

On peut donc dire, sous une forme assez concise ; La somme vectorielle île toutes les faces d'un polyèdre est identiquement nulle.

Remarque. — Le tétraèdre O A'B'C construit ci-dessus peut être appelé, d'après M. Genty, tétmèibe dérivé àa premier.