EXERCICES PROPOSES SUR LE CHAPITRE IIL
1. Trouver le lieu des milieux des droites se terminant à deux droites données et parallèles à un plan donné.
2. Une droite mobile se termine à deux droites fixes. Trouver le lieu du point qui divise cette droite mobile dans un rapport donné.
3. Une droite terminée à deux droites fixes se meut en restant constamment parallèle à un même plan. Trouver le lieu du j)oint qui la divise dans un rapport constant.
4. Ëqùutioii du lieu d*un point mobile dont les distances à deux droites données sont dans un rapport donné.
5. On donne un point fixe P et deux droites fixes : lieu d'un point X tel que la somme des projections de PX sur les deux droites données soit constante.
6. Si la somme des perpendiculaii-es abaissées du point A sur deux plans donnés est la même que la somme des perpendiculaires abaissées du point B, cette somme sera constante pour tout point de la droite AB.
7. Si la somme des perpendiculaires sur deux plans donnés, abaissées des points A, B, C (non en ligne droite), est la même, cette somme sera constante pour tout point du plan ABC.
8. On donne un angle solide à quatre faces : par un point donné sur l'une des arêtes, mener un plan tel que la section soit u n para ll(*l ogra m me .
9. Par chaque arête d'un trièdre, on mène un plan perpendiculaire à la face opposée. Démontrer que ces trois plans se coupent suivant une même droite.
10. OABC est un trièdre trirectangle ; OD est la perpendiculaire abaissée du sommet sur le plan ABC, Démontrer que aireAOB est moyenne proportionnelle entre aireACB et aireADB.
11. Trouver l'équation d'un plan passant par un point donné et formant des angles égaux avec trois directions données. Donner la valeur commune de ces angles.
12. Déterminer le point d'intersection des trois plans 0ax = «r,
Sbx:= 6, 0CX ^=^0,
13. Déterminer l'aire du triangle ayant ses sommets en trois I)oints donnés.
14. Déterminer la condition pour que trois plans se cou])ent suivant une même droite.
15. Déterminer la condition pour que quatre plans se coupent en un même point.
16. Exprimer le volume du tétraèdre compris entre quatre plans donnés. (Genty.)
17. Etant données les arêtes d'un tétraèdre, déterminer les arêtes du tétraèdre dérivé. (Gkhty.)
i8. Connaissant un tétraèdre, déterminer les aires des faces du tétraèdre dérivé. (Gf.nty.)
19. Trouver la relation entre le volume d'un tétraèdre et celui du tétraèdre dérivé. (Genty.)
20. Par un point fixe M, h l'intérieur d'un trièdre de sommet Oy on mène un plan coupant les arêtes en A, B, G. Soient Vi,Va, V, les volumes des trois tétraèdres MOAB, MOBC, MOCA; V celui du tétraèdre OABC. Démontrer que le rapport
. est constant, quel que soit le plan sécant.
V'ViVgVj (Genty.)
21. Soient donnés un tétraèdre quelconque ABCD et un point intérieur O tel que les droites OA, OB, OC forment un trièdre trirectangle ; on prolonge les droites OA, OB, OC, OD jusqu'aux points A',B',C', D', où elles coupent les faces opposées; on a
(^OA "^ 0A7 \0B "^ OB'j \0C "^ OC )
OD "^ OD'j [Mannhf.im.'
23. Les données restant les mêmes, on mène par le point O des plans parallèles aux faces du tétraèdre; ces plans déterminent dans chaque trièdre des parallélépipèdes dont nous désignons les volumes par P<,, P4, Pc, Prf. On a
( Gbitty. )
