La forme (3) de l'équation, pouvant s'écrire

5x(x — 2C) zzz o.

montre que x el x — 2C sont perpendiculaires, c'està-dire que l'angle dont les côtés passent par les extrémités d'un diamètre et dont le sommet est sur la circonférence (ou la sphère) est un angle droit. La formule générale (2) peut s'écrire

Z\^-\- ?.tx.S(cUx) -f- r:-— fl-:z=: o.

Donc, pour chaque valeur de Ux, î^x prend deux valeurs dont le produit este- — a-, propriété bien connue, pour le cercle comme pour la sphère.

Si deux circonférences (ou deux sphères) passent par un même point X, nous aurons, en retranchant les deux équations Tune de l'autre,

équation d'une droite ou d'un plan.

De même, pour un autre point d'inlersection Y,

20 y(c — c' ) -- 6-'2 — r* -h fi'- — a\

et, par soustraction,

ce qui montre que la corde (ou le plan) d'intersection est perpendiculaire à la ligne des centres.

Si les deux circonférences ne se coupent pas, la corde d'intersection devient l'axe radical.

Tangente et plan tangent.

72. La tangente au cercle (ou le plan tangent à la sphère), étant perpendiculaire au rayon qui aboutit au point de contact, aura pour équation, en prenant l'origine au centre et appelant t le vecteur d'un point quel-

— 9« — conque delà tangente (ou du plan tangent),

5x(t — x) = o, c'est-à-dire, d'après l'équation (i),

(4) 0TXr=-rt«.

Il n'est pas nécessaire, d'ailleurs, de supposer connue à l'avance la propriété de la tangente, car on peut l'établir en remarquant que, si x, x' sont deux vecteurs de la circonférence, l'équation (i) nous donne

X*— x'*=o ou 0(x — x')(x + x') — o,

ce qui montre que la ligne joignant le centre au milieu d'une corde est perpendiculaire à cette corde, et, comme limite, que le rayon aboutissant au point de contact est perpendiculaire à la tangente (ou au plan tangent).

73. Soit B un point extérieur à la circonférence, par lequel on mène une tangente; b étant le vecteur de B, rapporté au centre, et x celui du point de contact, l'équation de la tangente sera 0tx = — a^. Mais, puisqu'elle passe par le point B, on a 5bx = — a^, et, si dans cette équation nous remplaçons x, pour éviter toute confusion, par un vecteur courant y, nous aurons

équation d'uniî droite perpendiculaire à b et passant par les points de contact des deux tangentes issues du point B.

Pour la sphère, il est évident que l'équation (5) représente le plan des contacts. Il y a ici une infinité de plans tangents passant par le point B.

Remarque. — Si nous donnons à y la même direction

— 9» — que celle de b, et si nous appelons D le point ainsi obtenu, pîed de la perpendiculaire abaissée du centre sur la corde (ou le plan) des contacts, nous aurons

aussi bien pour la sphère que pour la corde.

EXERCICES

28. Trouve?' la transformée par inversion d'une droite ou d'un plan.

Soient Sax r=r — «' Téquation d'un plan et ^ le paramètre d'inversion, l'origine étant prise pour pôle. Alors y=-j d'où, substituant et opérant par y* >^,

-Say = y*.

On reconnaît ici la forme (3) du n" 70, car il suffît, pour

l'obtenir, de poser a r:^ a'.

La transformée cherchée est donc une circonférence, ou une sphère, passant par le pôle.

Remarques, — I. L'équation d'une droite pouvant s'écrire sous la forme x r= a H-xb, on voit que l'équation y = (a + .tb)-^ représente une circonférence passant par l'origine ; si a, b sont perpendiculaires, b est un vecteur tangent à la circonférence.

On peut encore écrire y-' = a + .tb, d'où

bB(Y-*— a) —O,

€*quation vectorielle de la circonférence.

— 9'^- — II. De même, Téquation d'un plan étant x =:= a -f- .rn 4- j <:, celle d'nne sphère |>assant par l'origine peut s'écrire

Y r— ,'a -]~ .r si -\- j- c] "* ou encore

6Bcf \~* — a1 :— O,

équation réelle de la sphère.

29. Si trois cercles donnés sont coupés par un quatrième cercle arbitraire^ les tmis cordes d'intersection formeront un triangle ayant pour lieux de ses sommets trois droites qui se rencontrent en un même point.

Soient Ai,A{, a, les vecteurs des centres des trois cercles donnes; rj, t-j, r^ leurs rayons; u le vecteur du centre du cercle variable, s son rayon. Les équations des trois cordes d'intersection seront (71)

?.6x (u - A, ) = aj - u^ -f- s'- - rî ?. Sx ( u — A2 } — aï — u- -{- .V* — ri , 2 X ( u — A3 ) = aj — u- -h s- — r] .

L'intersection des deux premières satisfera à la relation

26x(ai — A,) -— r] — ri — aj -f- a*,

qui représente une droite perpendiculaire à la ligne des centres Ai Ai.

Cette droite est donc le lieu de l'intersection.

De même, nous avons, pour le lieu du deuxième sommet du triangle,

2Sx ( A2 — A3) =: ri — r] — a^ -f- a*,

et, pour le troisième sommet,

'zôxlAa— Al)"/-* —r\ — a^-HaJ.

Comme l'une quelconque de ces trois équations se déduit

évidemment des deux autres, on voit que les trois droites se coupent en un même point. C'est le centre radical des trois cercles donnés.

30. Soit ABCD un parallëlograiYime ; une circonférence passant par k coupe klà, AQ et la diagonale AD en F, G, Il respectivement. Démontrer que

grAD.grAH — grAB.grAF -f- grAC.gr AG.

Effectivement, en vertu de la forme ( 3 ) de l'équation de la circonférence, nous aurons

en appelant u le vecteur du centre.

Mais F =z .rB, g ^^ jc, h zrr zd, de sorte qu'on a

FB==:2 5iun, GG=:i2 6uC, HDz=2 5ui>,

et par conséquent

FB H- GC --^ HD,

car D r:^ B -f- c, puisquc ABDC est un parallélogramme.

Corollaire — fb -f- gc -h hd :=: 4 ^un.

Si AU, AD sont perpendiculaires, h s'annule, et il reste

FB -i- GC 1= o.

Si AU, AD ont même direction, h =- ou, et Ton retombe sur l'équation fb -f- gc =: hd.