Trouver l'intersection de deux sphères

Soient x* — 2 5ax 1=::: A-, x* — 26bx ^^ / les équations des deux sphères. On a par soustraction

équation d'un plan. L'intersection , en vertu de l'exercice précédent, est donc un cercle.

On doit rapprocher ce résultat de la remarque déjà faite au n«71.

33. En trois points A, B, C d'une circonférence on mène des tangentes; les tangentes en B et C se rencontrent au point D, les tangentes en Cet A au point E, et les tangentes en A etB au point F. Les tmis droites AD, BE. CF se couperont en un même point.

Prenons pour origine le centre O de la circonférence, et désignons par A, B, . . . les vecteurs OA, OB, .... Nous aurons tout d'abord, d'après la forme de Téquation de la tangente,

JSaE = SaF =: 0BF = 5bo i— ScD z=z 6cE = — «*,

a étant la longueur du rayon.

Cela posé, Téquation de la droite AD est

Opérant successivement par S . b X et 6 . c X » en tenant compte des relations ci- dessus,

.JSbx =r. x5ab -h [x — i)«*, 5cx m 070 AC H- [x — I ) a*.

Éliminant x entre ces deux relations, nous avons sous une

— 9^ — autre forme rëquatioii de la droite AD, c'est-à-dire

SbX.0CA — 0GX.JSaB — a*6(B — C)X = «*Sa(b — C;.

De même, par raison de symétrie, on aurait, pour les équations des droites BE et CF,

5gx.5ab — ^AXÔBC — rt'0(c — a)x = a^$h[c — a), JSax.^bc — 6bx6ca— fl*S(A — b)x ~a*£ic(A— b],

et, comme ces trois équations ajoutées entre elles donnent une identité, chacune d'elles est une conséquence des deux autres, c'est-à-dire que les trois droites AD, BE, CF se coupent en un même point.

Polaires.

74. En prenant pour origine le centre de la sphère, nous avons vu (72) que réquation de la corde des contacts des tangentes menées par le point extérieur B {/îg> 22) est Sbx= — a^.

Il est facile de reconnaître que, si Ton mène des sécantes par ce point B, puis les tangentes aux points d'intersection, les couples de tangentes se couperont précisément sur la corde des contacts. Car soient BDE Tune de

ces sécanles et H le point de renconlre des tangentes en D et en E.

Alors B appartient à la corde des contacts correspondant à H, laquelle a pour équation 6hy = — a^, et, par conséquent, on a

6hb zi^ — a-j

ce qui montre bien que le point H appartient à la corde des contacts répondant à B.

Cette définition nouvelle ne suppose plus que le point B soit extérieur; elle peut donc s'étendre à un point quelconque du plan, et la droite ainsi obtenue est dite \di polaire du point B, qui, réciproquement, est le pôle de la droite.

Il est évident que la polaire est perpendiculaire à la droite qui joint le pôle au centre du cercle.

Réciproquement, si par les divers points d'une droite on mène des couples de tangentes, toutes les cordes des contacts iront passer par le même point.

On le reconnaît immédiatement en mettant l'équation de la droite sous la forme 6kx = — a^,

75. On peut reconnaître que toute sécante issue d'un pôle B est divisée harmoniquement par la polaire et par la circonférence. Pour cela, prenons pour origine le point B; l'équation delà polaire devient 6 c(x — c) =a-, et, si nous la coupons par la droite de direction u (u étant un vecteur unitaire), le point f nous sera donné par la relation

6 CI- z=z a^ — c* ou ( $ci: =z a- — c*.

Maintenant, Téquation de la circonférence est

et, en la coupant par la même sécante,

x'u* — 2x6cc = 6-' — a^ ou

a* H- 2XÔCU -4-c* — c^z=zo.

En appelant d, e les deux racines de cette équation (longueurs de BD et de BE), nous avons

I I :>.6cu

d e cr' — a* f

d'après la relation précédente en f. La propriété en question est donc démontrée. On pourrait également, si on le jugeait bon, la prendre pour définition des polaires.

76. Il serait facile d'étendre ces considérations à la sphère et d'établir ainsi la théorie des pôles et plans polaires et des droites polaires. Les calculs seraient identiquement les mêmes que ceux qui viennent d'être employés. Il suffirait de faire disparaître la restriction que toutes les figures sont dans un même plan.

On verrait ainsi qu'à tout point pris comme pôle répond un plan polaire; que, lorsque le pôle parcourt une droite quelconque, tous les plans polaires correspondants se coupent suivant une droite perpendiculaire à la première et réciproquement; que ces deux droites jouissent de propriétés absolument réciproques l'une de l'autre ; que, l'une étant extérieure à la sphère, l'autre coupe toujours la sphère, etc. Mais nous nous bornons, pour abréger, à ces indications générales, qui pourront fournir au lecteur matière à d'utiles exercices.