L. — QuaternioM
EXERCICES
34. Si l'on mène des tangentes aux sommets d'un triangle ABC inscrit dans un cercle, les intersections V,QyK de ces tangentes avec les cStés opposés sont en ligne droite.
Cette propriété pourrait s'établir sans peine, comme réciproque de celle de l'exercice 33, par les propriétés des polaires. Nous la démontrerons ici par un calcul direct.
Nous avons
P Z= A H- xAP = j-B 4- (i— 7)c.
Opérant par 6. a X, et remarquant que AP est tangente au cercle, il vient
BA»=rjBAB+(l-7)^AC, d'où j rrr __— j .
Donc
pBa(b— c) = b6a(a— c) — c0a(a — b).
On a de même
RJ6c(a — B)r:=A0c(c — b) — b5c(c — a).
De là, par addition, une relation de la forme
/? H- (y -f- /• étant nul . Donc (13) les points F, Q, R sont en ligne droite.
On tBtabl irait sans peine une propriété analogue pour la sphère .
PO CoEOLLAiHE. — Le rapport ^ est donné par
r Bac — Bbc
q 6ab — j6bc
ou
cos'2B — COS2A smG sinfB — A]
ou encore -:— — . ;,, f«
cos2G^-cos2A smB sm[C — A)
35. Un cercle est coupé par une infinité d'autres dont les circonférences passent par deux points fixes. Démontrer que les cordes communes passent toutes par un même point.
Soient et
les équations de la circonférence fixe et de la circonférence variable.
Soient en outre A , B {fig. 23 ) les deux points fixes piir les-
Fig. 23.
quels passe la circonférence variable.
L'équation de la corde commune PQ, obtenue par soustraction au mo^en des équations (i), (2) est
a0cx — r*— c' — ^.
Coupons-la par la droite AB. Pour cela, nous remplacerons x
par x A -f- ( I — .r ) B, d'où
iSc[xk -f- (i — .r)B] r= H— c*— d^.
Mais, A et B satisfaisant à Téquation ( 2 ] , on a
25cA=r* — a* — c*, aScBmr* — b* — c*, et, par substitution,
Donc, .r étant constant, le point R est fixe. Le rapport
RA .r— I a'— éP , - ,, . X , . ,
-7— r= = r-: r-. est égal, comme 1 on voit, a celui des
KB X b' — d*
carrés des tangentes AT, BU menées des points A, B au cercle
fixe, si ces points sont extérieurs. Dans tous les cas, l'interpré-
t.ition géométrique est extrêmement facile.
36. D'un point donné on abaisse des perpendiculaires sur tous les plans tangents à une sphère, Tmuver l'équation du lieu des pieds de ces perpendiculaires»
Soient A le point donné, X le pied de la perpendiculaire, P le point de contact du plan tangent. On a
( 2 ) S px z= — rt* ,
et, AX étant parallèle à p,
(3) X ~ A =: JTP.
Opérant sur ( 3) par S.x X, on a, en vertu de (2),
— loi
Élevant ( 3 ) au carré,
(5) (x-a)^=-«*xS
d'où, par élimination de x entre (4 ) et (5),
(x*-JÔAx)*=-a«(x -.%)«.
Telle est l'équation du lieu cherché.
37. Si trois sphères se coupent deux à deux y les trois plans d* intersection passent par une même droite.
Car, si a, b, c sont les vecteurs des centres, les équations des trois sphères sont de la forme
x' — :i5AX r= rt, X* — 2SbX=:^, X^ — 2 6cX nn c*,
et les équations des plans d'intersection
6(c — a)x = rt — c.
L'une quelconque de ces trois équations étant une conséquence des deux autres, on voit que les trois plans passent pajune même droite. C'est Taxe radical des trois sphères.
38. Trouver le lieu géométrique d* un point tel que le rapport de ses distances à deux points donnés soit constant.
Soient A, B les deux points, /• le rapport donné. Nous avons
X*— 2ÔAX-+-A*zr=/*(x'— 2ÔBX -i-B*),
(,/2)x2— 25(a— /«BJxma*— /«b*,
équation d'une sphère.
Si l'on place l'origine en b, l'équation prend la forme pli^?s
simple
39. Trouver le lieu géométrique d'un point tel que la somme des carrés de ses distances à plusieurs points donnés ait une valeur donnée.
Soient X le point variable, a^, a,, . . . , A;, les vecteurs des points donnes et/* la somme donnée. Alors
(x-Aj)«4-(x-A,)«-h...+ (x~A„)*=::-/*,
c'est-à-dire
/IX*— 2J6ix2A-|-2A'=r — /*,
équation d'une sphère ayant pour centre le point moyen des points A . Si Ton transporte l'origine en ce point, on a
La sphère est réelle pour /*> 2a' . Si /*= 2a*, elle se réduit à un point.
Dans le plan, le même problème conduit évidemment à une circonférence au lieu d'une sphère.
