CHAPITRE V

DIFFÉRENTIATION DES QUATERNIONS.

Différentielles de fonctions de quaternions.

77. Lorsqu'on soumet au calcul les quanlités complexes ordinaires, on trouve qu'une fonclion analytique d'une variable complexe admet en général une dérivée, c'est-à-dire que, z étant la variable, y(z) la fonction et dz l'accroissement de la variable, l'accroissement de la fonction, réduit à sa partie principale, peut se mettre sous la forme f'{z)dz.

Il n'en est plus de même, comme nous allons le reconnaître, lorsqu'il s'agit d'une fonction d'unquaternion variable. La variable recevant un accroissement, nous pouvons toujours considérer la partie principale de l'accroissement de la fonction et l'appeler différentielle de la fonction ; mais cette différentielle ne peut se mettre en général sous la forme d'un produit dont l'un des facteurs serait l'accroissement (ou la différentielle) de la variable indépendante.

Si X est un qiiaternion variable et T =f(^X) une fonction de ce quaternion, nous définirons donc la différentielle ^JTpar la relation

h étant une quantité réelle infiniment petite.

lOD —

Or rf-Faura bien la forme cp(X, dX), mais non pas, en général, <f[X).dX ni dX.(^{X).

78. Pour éclaircir cette notion de l'absence de dérivée, prenons comme exemple la fonction

Si nous donnons à X l'accroissement dX, nous avons, pour accroissement de la fonction,