X-^dX

XdX A X

et, en négligeant les infiniment petits d'ordres supérieurs au premier.

expression qui ne se réduit pas non plus à la forme X' .dX ou dX.X'y si ce n'est lorsque X et dX sont coplanaires ou bien lorsque dX est réel.

Cette absence de dérivée d'une fonction de quaternion,

— io6 — d'une manière générale, tient, comme on le voit, à la noncommutativité de la multiplication par dX. Aussi y a-t-il une dérivée chaque fois que dX est réel.

Si, en particulier, un quaternion JTest fonction d'une variable réelle j?, il y aura toujours une dérivée, qui, en général, sera un quaternion.

79. Si la différentielle dX de la variable se compose de deux parties d^X-\- d^X, il est facile de voir qu'on aura d.f {X) = d,.f{X)-{^ d,.f{X). En effet, la définition (i) de la différentielle nous donne

^y^^ f[X + hd,X)-f{X] /i=o h

,. f[X-^hd^X-\-hd^X)—f[X^hd^X) -h Iina ;

^- dj[ X] -+- lim dj[ X-\-hd^ X]

-^dj[x)-^dj[xY

On étendrait sans plus de peine ce raisonnement à un nombre quelconque d'éléments, au lieu de deux, comme nous l'avons supposé.

Dans le raisonnement qui précède, d^f[X) eid^/[X) représententévidemment les différentielles résultant isolément des accroissements d^X et dfX,

Différentielle d'une somme.

80. La définition même de la différentielle (77) nous montre que la différentielle d'une somme est égale à la somme des différentielles des éléments. Donc, si

— lO^ —

Uy Vy, . . étant autant de fonctions de X^ nous aurons dY = dU'\-dV-\-

Bien entendu, la différentielle dX de la variable indépendante doit rester partout la même.

Différentielle d'une fonction composée,

' 81. Soit J^=y( f/, /^, . . . ) une fonction de plusieurs variables £/", f', . . . , qui sont elles-mêmes des fonctions d'une seule variable indépendante X.

La différentielle sera, par définition,

dx = ^^^ f[u-^hdu,r^hdr..,,]^f[u^r^..\

et, en suivant exactement la même méthode que pour les fonctions de variables réelles, on verrait que Ton a

dr=d,r^d,r-h...,

d^Yyd^Y, . , , représentant les différentielles de la fonction T =^f[ £/", /^, . . . ) lorsqu'on y fait varier isolément U^ puis ^, . . . .

Il est clair qu'ici, comme précédemment, le résultat obtenu sera toujours une fonction homogène et du premier degré des différentielles dU^ dV^ ... ou de la différentielle dX.

Autres propriétés de l'opération d.

82. Si l'on décompose un qualernion l^en sa partie réelle 1 o et sa partie vectorielle J^/, nous aurons

dY=dY,,-\-dYi.

Or, la différentielle dY^ d'une quantité réelle est es-

— io8 — sentiellement réelle, celle d'une quantité vectorielle (il'i est vectorielle. Donc

Si nous prenons le quaternion conjugué de V, c'està-dire J — y il nous aurons .

r/.cj r— dY^—dYi=i cjrfr.

On exprime ces divers résultats en disant que le signe d est commutatif avec les signes 5, ti ou cj.

EXERCICES