Différentielle de

Posons

Delà

et, par différentîation,

— ^dY^z=:XdXA- dX,JC,

Opérant par — Y[ ) T et remplaçant Y par — »

Si X est un vecteur x, la différentielle se réduit à l'expression

i*éelle

Diiférentiations successives.

83. La nolion des différentielles des divers ordres s^ntroduit ici aussi naturellement que dans l'analyse

— ni —

ordinaire et ne saurait donner lieu à des difficultés nouvelles, puisqu'il suffit d'appliquer les mêmes procédés de calcul aux différentielles obtenues déjà, pour obtenir les différentielles d'ordres supérieurs.

Gomme exemple, prenons la fonction Y= X-. Nous avons

et de là

cPY:=XirX-{-!i{iiX)*'hà^X,X.

Si X était un vecteur x, on aurait

Bien entendu, si l'on donne à la variable indépendante un accroissement dX qui soit constant, il faudra faire d'^X=.d^X = . . , = dans tous les calculs, qui se simplifieront beaucoup par cela même.

Cas des variables réelles.

84. Nous avons déjà vu que, si la variable indépendante est réelle, on obtient une dérivée tout comme dans l'Algèbre ordinaire. Supposons que la fonction, dans ce cas, soit un vecteur y z=f(x). Alors le lieu du point Y sera bien évidemment une certaine courbe. La différentielle rfv représente la corde infiniment petite qui unit deux points de cette courbe infiniment rapprochés, et la dérivée — est un vecteur fini parallèle à la

tangente.

Si un vecteur y était donné en fonction de deux variables réelles indépendantes, sous la forme y =zf{^Xj -s), le lieu du point y serait généralement une surface, puis-

— ii3 — qu'en attribuant à l'une des variables une valeur quelconque on obtient une courbe. La différentielle de y pourra alors se mettre sous la forme ordinaire

ftY = — ax -{- -r- az, dx dz

-7-=/*^(x, :?) et ~=y^a:, ^) sont ici deux vecteurs

tangents à deux courbes tracées sur la surface. Ils déterminent donc le plan tangent.

Nous nous bornons ici à ces rapides indications géométriques, qui n'ont d'autre objet que d'éclaircir les notions de la différentiation dans des cas particuliers, mais dont l'usage est très fréquent.

Fonctions réelles.

85. Soit tout d'abord une fonction réelle f[X) d'une seule variable indépendante X, Si nous remplaçons le quaternion X par son expression développée

Xo4-a?lll-+-X,Ij-f-X3l3

et si nous faisons varier séparément Xq, Xo x^^ Xzj nous aurons (79)

df^dj-^dj+dj^d,f.

Mais, dans cette relation, tous les éléments sont réels.

Les dérivées -^t -L,,... sont donc bien déterminées, et nous pouvons poser

d,f^ dj dj dj

P^^PmP^} Pi étant des fonctions de JC, mais non de dX,