tk, 0M = -^ d'où ML==:^A

54. Tout diamètre OX aboutissant à un point de la courbe divise en parties égales les cordes parallèles h la tangente en X .

Soit K un point de OX, avec OK = \ . OX ; appelons LM la corde parallèle à la tangente en X qui passe par K; nous aurons

^( rA + - j H-.r/ /A — ^ J — OL~/'a+ -,.

Donc (X -f-.r)f = /', =^-7» <i'où X* — x*==i; par

conséquent, x peut avoir deux valeurs égales et de signes contraires, c'est-à-dire que KL =z ~ KM.

Remarque, — Deux vecteurs ^a-hjb, a:'A-f-j'B ont des

directions conjuguées lorsque — h ^-y = o ou xj' 4- x*y = o.

En. appelant K le milieu de la corde donnée ML, on vérifierait immédiatement cette condition, ce qui donnerait encore une autre démonstration du théorème.

55. Soient TS, T'S' deux tangentes à l'hyperbole, limitées aux asymptotes et se coupant en R. Démontrer : 1'* que ÏS', T'S sont parallèles ; 2** que les triangles TRT', SRS' sontéquitalents; 3** que le rayon OR, issu du centre, partage par le milieu TS' et T'S.

- i4a - 1® L*équation de la tangente TS en X est

faisant x =11 , puis .r =:= — 1 , on a

et de même

or =12 /'a, OS'=r— .

Delà,

TS' = ^, (b — /r'A), rSr=:î(B-W'A).

Or, on a aussi

donc TS', T'S sont parallèles entre eux et àX'X.

2« Écrivons OR =: OT -4- z.TS = OT' -H z'.T'S', ou, d'après les valeurs précédentes,

2^A-|- 22/ - — fAJ =2/'a -i- 23'(-^ — a j .

Delà,

ce qui donne

zt — z't'^t — t'.

c'est-à-dire