TR T'R

d'où l'on déduit sans peine la relation entre longueurs

RT.RT' = RS.RS', qui démontre l'équivalence des deux triangles TRT\ SRS'. 3" Les relations précédentes donnent z = , 5 d'où

Mais

z=2/A -h 2 -[- — tA] =——,it^A-\~

OT 4- OS' = 1 [tt'x -f- b), or -f- OS =r - (//'a -h b);

donc OR a bien la même direction que la droite joignant avec le milieu de TS' ou de T' S.

Autrement : 1" Soit \ = uv -h rv, x' =: w'u + p' v, u et v étant des vecteurs unitaires suivant les asymptotes. Posons T nz ^u, ï' = t'ij, s = 5 V, s'z= s' V. A.lors

j6it*x r= /0U* [uTJ -\~ U\) = tffBv^y nz I.

ou (101)

2UV

Donc

T=2ttU,

et de même

TS'== — 2UV -\- 2/v, T'Sir-. — 2M'u-f-2i'vsontdoncdes vecteurs parallèles entre eux et à

XX'=(«'-M)u-f-(i^'—p)v,

car = 7 = -7

2° tT.^s =z OLt' .Es' z=^uv = ^uv. Les triangles OTS,

OT'S' sont donc équivalents, et, en retranchant le quadrilatère

commun OTRS', il en est de même de SRS\ TRT'.

3" 6r*x = i, fia*x'=i, d'où Ba*(x — x') — o. Le vecteur a est donc conjugué de la direction XX', et, par conséquent, il divise en deux parties égales les cordes, soit de la courbe, soit du système des asymptotes, parallèles à cette direction. C'est ce qui a lieu pour TS' et 1? S en particulier.

56. Si, par les points P, P' d'une hyperbole et par le point de contact Q d'une tangente parallèle à la corde PP', on mène des parallèles à l'une des asymptotes, qui rencontrent l'autre en

. C, C et D, les trois longueurs OC, OD, OQ! formeront une proportion continue,

Soit Q =r / A 4- - 5 alors la direction de PP' est /a , et nous

avons

p zirWAH-PB = j:f/A-f--|+7f/A j

= [^x->ry)tK-\-[x—y]^-,

p'z= i/'a -f-i^'arrrorf/A-h - I — jUa— -|

:in(x.-7)/A-4-(a:+j)".

De là, u =z [x-^'x)t, u= [x^y)t et-^ = x« — j* = i ( Ex. 54), ce qui démontre le théorème.

57. Si l'on prend une corde d'hyperbole pour diagonale d'un parallélogramme dont les côtés soient parallèles aux asymptotes, l 'autre diagonale passe par le centre.

Soient x = /a-|--> x'rzzr'A-f- -, les vecteurs des extrét t'

mités de la corde; l'autre diagonale sera évidemment

elle passe par le milieu de la corde. Or, on résout Téquation

x' r-4-V t-hi^

1 2 tltlf

en posant

Donc la diagonale passe bien par Torigine.

58. Deux tangentes aux extrémités d'un même diamètre BBi rencontrent en T et Ti la tangente menée ait point C de la courbe; OC, OB' sont les demi -diamètres conjugués de OC,OB. Démontrer qu'on a

CT ^T^ qa

*"* BT~"Biïi ""OB^'

1^ CT.CTi^ÔC'';

3" BT.BiTi=::ÔB''.

I® De'signons, comme d'usage, les vecteurs par les lettres de leurs extrémités, en remarquant que Bj = — b. Nous aurons

6b*B=:ï, 6c4»C=:I, 6b'*b'=: — I, 0c'*c'=--I, 0T*Br=rl, J6iTi*B=— f, 5t*C=:I, 0Ti*Ci::=I.

Posons CT" z.OC, BT —j.OB'. Alors t — c = 3c'; donc

Donc^*==: 3*, d'où

CT OÇ

BT "" OB' ''