Difierentions l'équation (3); nous avons

ou

(6) 5^x(<l»X+B-^)=zO.

Remplaçant dx par y — x, nous avons l'équation de la tangente en X, qui se réduit à

La relation (6) nous montre que le vecteur normal a pour direction

— i5i — Téquation sectorielle de la normale est donc

Si nous cherchons Tintersection T de la tangente avec Taxe, nous remplacerons, dans Téquation (7), y parj^B, ce qui donnera, en vertu de (4),

j — I — 6b-*x, FT=b— bSb-»x = FD — FP=PD.

Delàencore,FP=TDetAT = PA, puisque FA =r AD.

Quant à la longueur de FP, nous l'aurons en écrivant

Fr=r f B - bSb-»x)*^ (B^-fBx)' ^

d'après l'équation (i). Ainsi, FT = FX. De là résulte que la tangente est bissectrice de l'angle EXF et que la ligure FXET est un losange, si bien que FE est parallèle à la normale; FEXN est donc un parallélogramme.

La normale est parallèle à *x-4-b~S et par conséquent à B*-*x-hBOu à — B*-<l»x — B. Mais XP= — b^^x; donc PN = — b =r= DF, ce qui démontre la constance de la sous-normale.

L'équation (7), lorsque le point X n'est pas sur la courbe, représente la polaire de ce point.

Diamètres.

107. Pour avoir le lieu des milieux des cordes parallèles à une direction donnée d, nous remplacerons, dans l'équation (3), x par y -hjD^ puis par y — j d. Développant et retranchant, il reste

(9) 5y*D 4- ÔB-^D zrr O,

équation d'une droite perpendiculaire à *d, et par conséquent parallèle à l'axe.

— i5a - La direction d est perpendiculaire à * y ^- b~ % c'està-dire au vecteur normal au point où le diamètre coupe la courbe, de sorte que la tangente en ce point est parallèle aux cordes divisées.

Forme vectorielle des équations.