Si un triangle est inscrit dans une parabole, les points

de rencontre des côtés avec les tangentes aux sommets opposés sont en ligne droite»

Soient P, Q, R les trois sommets, R' le point de rencontre de PQ avec la tangente enR; nous avons (108)

ft'=3P-f- (l 3)Q = R-f-w(rA-j-B).

Cette équation de'veloppie nous donne, en égalant les coefficients,

z[p^ — 7*) -I- 17-izz r'4- 2Wr, z[p -- q] -^ q z=z r -h u,

d'où

ir — p — q ce qui donne, pour la valeur de a',

' PV' „»

2r — /? — q ir — p — q

de même, par symétrie,

2 p'-^ qr

Si maintenant nous posons

^^[r-p)['^q-r-- p\ L. — Quaternions, î I

il est aisé de voir que nous aurons à la fois

Donc les points P', Q', R' sont en ligne droite.

EXERCICES PROPOSES SUR LE CHAPITRE Vm.

1« Dans toute parabole, la distance du foyer à une tangente est moyenne proportionnelle entre ses distances au point de contact et au sommet de la courbe.

2. Si la tangente en X à une parabole de foyer F rencontre la directrice au point D, les droites FD, FX sont rectangulaires entre elles.

3. Une circonférence a pour centre le sommet A d'une parabole et pour diamètre 3AF, F étant le foyer. Démontrer que la corde commune partage AF en deux parties égales.

4. Une tangente quelconque à la parabole rencontre la directrice et l'ordonnée du foyer en deux points également distants du foyer.

5. F est le foyer d'une parabole, X un point quelconque de la courbe. Démontrer que le cercle décrit sur FX comme diamètre est tangent à la tangente au sommet.

6. Trouver le lieu géométrique des foyers des paraboles passant par deux points donnés et dont les axes sont parallèles à une direction donnée.

7. Deux paraboles ont même directrice. Démontrer que leur corde commune coupe à angle droit et par le milieu la ligne joignant leurs foyers.

8. La portion de toute tangente à la parabole comprise entre deux tangentes qui se rencontrent sur la directrice est vue du foyer sous un angle droit.

9. Si du point de contact d'une tangente à la parabole on mène une corde quelconque, et si l'on trace une parallèle à Taxe rencontrant la tangente, la courbe et la corde, ces trois points détermineront une division proportionnelle à celle déterminée sur la corde par cette même parallèle à Taxe,

10. Déterminer le lieu des points milieux des cordes focales d'une parabole.

11. Soit PFQ une corde focale d'une parabole de sommet A ; les droites PA, QA rencontrent la directrice en P'Q'. Démontrer que PQ', QP' sont parallèles à Taxe.