FORMULES

Produits de deux facteurs.

109. Nous avons précédemment établi (37), en ce qui concerne les produits de deux vecteurs, les quatre formules très importantes que voici :

(i) 6ab = Sba.

(2) iJAB=^— UbA,

(3) AB -4- BA = 2SaB,

(4) AB — RkZZZibhB,

Si, au lieu de deux vecteurs, nous considérons deux quaternions ^,5, décomposés respectivement en leurs parties algébriques et vectorielles, Ao'\' -^t et jB^-H i?/, nous aurons, en appliquant les formules (i) et {2) cidessus :

AB = Ja-Bo -+■ ^o ^i -+- Bo Ai -f- S JiBi -\- U Ai Si, BA r= AoBo 4- AoBi'\' BoAi-h SAiBi— \)AiBi,

De là on déduit immédiatement

(5) f^AB = ÔBA,

(6) \^AB -f- \^BA ^i[AoBi-v B^A,),

(7) \^AB-^\^BA — i\^AiBi,

— i65 — Produits de trois vecteurs.

110. Remarquons tout d'abord que, si a représente un vecteur et B un quaternion quelconque, l'expression ^,k^B est identiquement nulle, puisqu'elle indique la partie algébrique d'une quantité vectorielle. Cette observation, faite une fois pour toutes, simplifîera beaucoup les développements ultérieurs. Il faudra seulement se rappeler qu'on pourra ajouter ou retrancher à volonté des expressions de la forme considérée, sans apporter aux quantités aucune altération.

Cela étant, nous voyons tout d'abord qu'on a

5 ABC = S(SAB-h Uab)c=:S(13aB.c)

rr: ScUaB "ZZ dc[6AB -h Uab] = 5 CAB,

J6 ABC = 6A(6i:C-hUBC)z=SAUBC

r:=S(ttAC.A) — S(6bC -h UbcJa^zSbCA.

Ainsi

( 8 ) S ABC ~ BCA =z 0CAP,

résultat auquel on aurait pu parvenir, plus rapidement peut-être, au moyen de la formule (5), en écrivant