Lorsque *'= *, on dit que la fonction * est

— i83 — conjuguée à elle-même . S'il n'en est pas ainsi, on a, par la définition (4),

la propriété s'appliquant à tous les vecteurs possibles. Donc, ajoutant avec (4),

ce qui montre que la fonction * -h *' est toujours conjuguée à elle-même.

De plus,

J5x*X=:0X*'x ou Sx(<Ï» — *')x=:0.

Donc (* — *')x est perpendiculaire à x, ou

(* — *')x=tlDX.

Par conséquent,

*X r=i(<I) + 4>')X -h {(<!> — *')X = K* + *')X + |tlDX.

Cela nous montre que toute fonction vectorielle et linéaire de x ne diffère d'une fonction conjuguée à elle-même que par un terme de la forme tJnx.

Si la fonction * est conjuguée à elle-même, le vecteur D s'annule évidemment.

L'application successive des deux opérations *, V, répondant à des fonctions vectorielles et linéaires, a pour résultat une nouvelle fonction linéaire et vectorielle, comme on le voit immédiatement par le calcul en développant les termes.

Cela étant, la fonction **', comme * -+- *', est conjuguée à elle-même; car, d'après (4),

0X**'y =r 6*'y*'x ::= 0*'x*' Y ztl 6y*«Î»'x.

Remarquons enfin que la fonction ^ -i- g est vectorielle et linéaire, comme*, et que sa conjuguée est^'-f-g", si celle de * est *'.

Nous bornons là, pour Tinstant, l'énoncé des nombreuses et intéressantes propriétés que possèdent les fonctions *.

Inversion de la fonction «. — Première méthode.

124. Tout vecteur, en général, peut s'exprimer par la somme de trois vecteurs non coplanaires quelconques, multipliés par des coefficients réels. Or x, *x, *-x sont généralement non coplanaires. On pourra donc exprimer le vecteur ^•'^x sous la forme

(6) *^\ ==:ÀX -f- a*x -h v*'x.

Si l'on opère sur cette relation par *~*, c'est-à-dire si l'on remplace x par *~*x, on aura

♦ -X ::= X<Ï»-^X -h pX -f- V*X,

(7) — >*-*X rrrpx -f-v<ï»X — <ï»'x.

La fonction <ï»""* se trouve donc exprimée ainsi au moyen d'opérations directes.

Les quantités réelles X, (ut, v, indépendantes de x, pourront se déterminer en remplaçant successivement x par trois vecteurs connus quelconques, et en résolvant les trois équations résultantes.

125. Il reste à voir que cette solution générale s'applique également aux cas particuliers qui peuvent se présenter.

Tout d'abord, si *x est parallèle à x, et par consé-

— i85 — quent de la forme Ax, on aura *^x = A^x, c'est-à-dîre la relation (6) lorsque [xelv sont nuls.

Si X, *x, *-x sont coplanaires, on peut écrire

d'où

<t>^X=:p<t>X -{- qi>-X=zp/jx -h [p -h fJ-]^Xy

ce qui rentre encore dans la formule (6), dont Tusage est ainsi tout à fait général.

Si dans Téquation (7) on avait X = o(ft^o), on aurait, en opérant encore par *""',

Si X = o, p. := o, il vient enfin

EXERCICE