Effectuer V inversion de la fonction

*x — — a\\^Si^ii— a\\^S^x — «I13613X.

Cette fonction particulière a une grande importance dans l'élude des surfaces à centre du second ordre.

Si nous y remplaçons successivement x par i^, I2, I3, nous avons

*Il=«îllt *l2=«|l2» *Ï3==«3Ï3-

De là,

4»'ij=:<7jii, . . . , et de même *^ii=«Jip.. .

L'équation (6) nous donnera donc

— i86 — Donc a\, a\^ a] sont les racines de l'équation

et, par conséquent,

On aura ainsi

relation qui peut encore s'écrire

On en tire

alalal^-'x=(alal-i-alal-hala\)x

— {al -h al + /z|)*x-h*'x,

c'est-à-dire Tinversion de la fonction * ou la solution de l'équation *x=:c.

Inversion de la fonction «. — Méthode d'Hamilton. 126. Soient l, m deux vecteurs tels qu'on ait

(8) *X = tlLM;

on tire immédiatement de là

Sl*X = 0, J6M*Xrrr0,

et, par Tintroduction de la fonction conjuguée *' (122), Le vecteur x est donc perpendiculaire à *'l et à *'m,

c'est-à-dire à Taxe du quaternîon *'l*'m. Ainsi,

(9) mX ==z tl*'L*'M.

Or, d'après la relation (8), x = *""' tiLM; donc

(10) /W*-*tlLM =: tl*'L*'M.

Il s'agit à présent, pour tirer de là l'inversion de *, de déterminer la constante m et d'exprimer le second membre en fonction du vecteur Ulm.

Soit N un vectçur quelconque, non coplanaire avec L et M. Opérons sur (10) parS.^'wX, en tenant compte des relations précédentes et de la propriété fondamentale des fonctions conjuguées ; nous aurons

m0.*'w*-*tlLM=:0.*'lftl*'L*'Mi=/?î0.N**-*ULII

— m0LMN = m0(llLM.lî) =0(*tl*'L*'M.N)

Delà

II m ~ ^ .

^ 0LMN

Celte quantité m est indépendante des valeurs particulières de L, M, N. En effet, si on remplace l par l -H zm, le numérateur et le dénominateur restent séparément invariables. Donc on peut ainsi, par des modifications successives, amener les vecteurs l, m, n à trois valeurs quelconques, sans que m soit altérée.

Changeons maintenant* en 4» -f- g- dans l'équation (10), g étant un nombre réel quelconque. Si nous appelons nig ce que devient la constante m par cette transformation, nous aurons

— i88 en posant pour Tinstant

sauf à étudier tout à l'heure ce qu'est cette fonction Y D'après la relation (ii), nous avons

77i| et m2 sont deux nouveaux coefficients réels, dont les valeurs

sont, tout comme m, indépendantes de l, m, n.

Actuellement, substituons à nig sa valeur dans la relation (12), puis opérons par ^-f-g", et il nous restera l'égalité

c'est-à-dire, en supprimant les termes identiques et identifiant les coefficients de g et de g^^ que nous aurons les deux égalités symboliques

(i5) w, r= *Y + /w *-S /Tij— <ï»-hT.

La seconde nous donne T = m^ — * et nous monlre, en conséquence, que la fonction Y est, elle aussi, vectorielle linéaire.

De plus, l'élimination de ^ entre les deux équa-

- i8y — lions (i5) donne

(i6) m^~^=zt?ii — Wj* + **.

Cette dernière équation symbolique nous fournit la solution complète des équations vectorielles linéaires par la méthode d'Hamilton, que nous venons d'exposer.

127. Tout le problème, on le voit, se ramène à la détermination des valeurs réelles m, 77/,, /nj. Lorsque ces coefficients sont déterminés, Téquation symbolique (16), et par conséquent

(17) *' — /;î2*^+Wi* — m=zo, est satisfaite, c'est-à-dire qu'on a

(18) (*'— mj*'-f-/Wi* — m)x=io,

quel que soit le vecteur x.

Si nous formons l'équation du troisième degré

(19) s^ — m^s^ -h ffîis — /;/=ro,

et que nous en appelions les racines ^j, ^2, ^3, l'équation ci-dessus pourra s'écrire sous forme symbolique :

(CÎO) ($ ^,) (4, .v^) .'<ï, -. 53) — o.

Directions principales.

128. Cherchons la condition pour que x soit parallèle à *x, c'est-à-dire pour que l'opération * appliquée à un vecteur n'en altère pas la direction. Nous devrons avoir

(21) ^x = z\ oa l)x*x=rzo.

Delà

et par conséquent; en substituant dans Téquation fondamentale (i8),

( s' — m, z^ -h fniz — w ) X = G,

si bien que z doit être l'une des trois racines StyS^^s^ de Téquation (19).

L'une de ces racines au moins est réelle, puisque l'équation est du troisième degré. Supposons pour un instant qu'elles le soient toutes les trois.

La solution du problème sera donc donnée nécessairement par Tune quelconque des directions X4,X2,X3 qui satisfont aux conditions

(^2) (*— Ji)Xi — o, ^*— Jj>2 = 0, (* — JjiXjr^o.

Décomposons x, vecteur quelconque, suivant ces trois directions X| ,X2, X3, que nous appellerons directions principales. Nous aurons

(23) X = «1X1 4- ajXj-h «3X3.

Opérant par * — Si, en tenant compte des conditions (22),

( * — Jj ) X =r a^ (.^2 — Ji ) X, -f- «3 ( J3 — Si ] X3.

Ainsi, l'opération ♦ — ^1 fait perdre à un vecteur x quelconque sa composante parallèle à Xi .

Opérant de nouveau par * — 5,, il vient

, et de même

' (* — .^i) i * — ^3 ; X = «2(^2 — ^1) (•^2 - ■^3)Xîi

— ^9» — Les trois directions principales sont donc fournies par les expressions suivantes, quel que soit x,

/ (* — 5i)(*— jj)x,^

toutes les fois que les racines Si, s^^ s^ sont inégales.

Il importe d'établir qu'on aura bien ainsi toutes les directions. En d'autres termes, il n'y a pas deux directions différentes qui puissent donner, par exemple,

( * — ^1 ; Xl ~ O, ( * — J, ) Yi zn O.

En effet, si une pareille direction ¥< existait, en dehors de Xi, nous décomposerions x suivant Yi,X2 et X3, et, formant la quantité (* — ^^i){^ — 53)x, comme cidessus, nous aurions

d'où l'identité

(26) ai (^1— s^)[s^- 53) X'i := ^1 [s^ — s.^)[s^ — s.,] Y,,

qui ne peut subsister, Xj et y^ ayant des directions différentes, qu'autant qu'on a

S^=zS^ OU 51 = ^3,

c'est-à-dire que si les racines ne sont pas différentes les unes des autres.

Prenons maintenant l'hypothèse de deux racines égales, 5, = ^3 par exemple. Si nous opérons par * — s^ sur l'équation (sS), nous aurons

(3.7) (* — .^2)X— «1(^1— J2)Xi,

en admettant que la direction X3 satisfasse, comme X|^ à la condition *x==5jX.

Donc la direction Xj sera donnée par (* — ^a) x, quel que soit x.

Si nous opérons au contraire par * — s^ surcette môme équation ('i3), il vient

(28) {* — .îi)x=(yj— Jt)(ajXj-i-a3X3).

Ainsi, un vecteur quelconque v dans le plan (X2X3) est donné en direction par ( * — ^1 ) x, quel que soit x. Il est d'ailleurs évident que tout vecteur dans ce plan satisfait à la condition (* — S2)y = o.

Enfin, si les trois racines ^1,^1,53 sont égales, il est clair qu'en opérant par * — s^ sur Téquation (aS), on obtient

c'est-à-dire que tout vecteur de l'espace est une direction principale.

Dans le cas où deux racines seraient imaginaires, on n'aurait plus qu'une seule direction principale au lieu de trois. Les autres, substituées dans les formules (20), donneraient, comme directions, des bivecteurs (*).

129. Dans le cas où les racines de l'équation (19) sont réelles et inégales, les trois directions principales Xi, X2, X3 forment un trièdre, que nous pouvons appeler trièdre principal.

Puisque nous avons identiquement (* — 5i)xi=:o, nous aurons aussi

(29) ^x(* — ^l)Xl^O,

(') Hamilton et Tait désignent respectivement par bivecteurs eibiqua^ tentions des expressions de la forme a ^ b ^ — i et jé -h B ^ — i, ^ — i étant Tunité imaginaire de l'Algèbre ordinaire.

— 19^ — quel que soit x; c'est-à-dire, en verlu de la relation (4)

(3o) JSiXi(*' — Ji)x=:0.

Ainsi, tout vecteur de la forme (*' — 5i)x est perpendiculaire à Xi. De même, tout vecteur (*' — ^2)^ est perpendiculaire à X2.

Par conséquent, le vecteur (*' — 'yi)(*' — ^2) "^9 dont nous désignerons la direction par X3, est à la fois perpendiculaire à Xj et Xj.

De même les directions

(4.'^5i)(<ï»'-^3)x et (*'-52)(4>'-53)x,

ou Xj et x'^ sont perpendiculaires aux plans (X1X3) et (X2X3) respectivement.

Le trièdre formé par x', , Xg, Xg est donc supplémentaire du trièdre principal. Nous pourrons l'appeler trièdre principal conjugué. C'est le trièdre principal de la fonction *', et il est manifeste que le premier est, réciproquement, le conjugué du second.

130. Supposons maintenant que la fonction considérée. * soit conjuguée à elle-même. Nous allons démontrer qu'alors les trois racines de l'équation (19) sont nécessairement réelles.

Soit en effet Sy^ ■+- 1^ \j — i l'une de ces racines, et appelons Xi -f- Yi y — I la valeur qui en résulte, en vertu de la première équation (24), pour le bivecteur correspondant.

Nous aurons, en vertu de la première relation (22),

relation qui se dédouble de la manière suivante :

*Xi=i5,Xi — /lY,, *Vi=: JiYj-f-^lXi.