Si l'on écrit encore x, comme plus haut, sous la forme

X = «iXi + «2^2 H- a3 X3,

on aura

*Xr=«i*Xi+ «2*X2-f- «3^X3,

c'est-à-dire, à cause des relations ( 22),

(32) *X = .Vja|Xj H- 52«2Xj-f- ^3«3X3 .

— *9^ — On pourra donc, en vertu de la relation (21) du Chapitre IX (p. 169), en prenant pour A, b, c les trois directions principales, mettre toute fonction vectorielle linéaire sous la forme

(33) *X=r: J^Xi 6X2X3 X -f .fjXj^XsXiX + 53X3SX1X2X.

Si Ton adopte pour directions des unités imaginaires iijis^U les trois directions orthogonales Xi,X2,X3, dans le cas d'une fonction conjuguée à elle-même, on pourra mettre cette fonction sous la forme

(34) *X == — JiIjSljX — • S^\^$l^\ — ^3l3 0l3X.

Il est possible de tirer de là une transformation importante et de mettre la fonction considérée sous la forme

(35) *X =:/x 4- wtl(li -f- //l3)x(li — «la).

En développant le second membre, après avoir remplacé X par «il, -I- «2 12+ «3I3, remplaçant $x par

puis identifiant, on trouve par un calcul facile

Delà

On a donc une valeur réelle pour n si Ton a choisi pour II et I3 les directions principales correspondant à la plus grande et à la plus petite des trois racines de l'équation en s.

Cette transformation a de Tintérét au point de vue des applications géométriques.

EXERCICES