Résoudre l'équation

a5bx-1- a'0b'x 4- a"5b*'x = c.

Cette équation peut être regardée comme le type des équations linéaires vectorielles. Toute équation de cette espèce peut être ramenée à cette forme, comme on le reconnaît facilement en décomposant x suivant les trois directions \S b' b", tï b'^b, tl bb' , non coplan aires.

J^e premier membre étant désigné par *x, nous aurons

*'x = bôax+b'Sa'x + b"Sa"x.

Prenons pour l, m,n les trois vecteurs a, a', a". Alors

<Ï»'a =bSaA -f-B'ÔA'A +b'^5a"a,

*'a' z=z b0a'a -+- b'Sa'a' + b"0a''a',

Delà

0AA a' A a'' A

0(*'a'.*'a'.*'a'') = 0bb'b"| 0a'a 0a' a' 0a'' a'

En calculant le déterminant, on trouve qu'il a pour valeur

-0A[A0(A'A"tiA'A")-f-A'0(A"AUA"A)4-A"0(AVt)AA')].

La quantité entre crochets, comme on peut le reconnaître par le calcul, est égale à

-0[At)(A'A"0AA'A")] = -(0AA'A")2.

Par conséquent,

7W=r-0AA'A''0BB'B".

Formant aussi les valeurs de /w, et /Wj, on trouve

mi=:0(tiA'A''llB'B^4-tiA"At)B"B-hUAA'llBB'), /W2 = fi(AB + a'b'+ A*'b*').

On a ainsi, pour la solution cherchée, — ^aa'a'^.Sbb'b'^.x

= -0(tiA'A"tiB'B"4-tlA"At)B''B+UAA'tlBB') — Ô( AB -f- a'b' + a'^b" ) *C + *«C,

ou encore, les calculs effectue's,

6AA'A"j6BB'B'^X=:tiB'B"SA'A"c-f-tlB"B0A"AC4-t)BB'0AA'c.

On serait arrivé beaucoup plus Hicilement à ce résultat en opérant successivement sur Téquation donnée par 0a'a"Xi J5a"aX, 6aa'X.