On dit qu'une suite infinie de nombres rationnels

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est donnée quand on donne le moyen de calculer un terme quelconque i<,„ connaissant son l'ang.

21. On (lit qu'une suite infinie de nombres rationnels 00 ^'p "-2, ■••, ^'

CHAP. I. — DES NOMBRES IRRATIONNELS ET DES LIMITES. tZO

a pour limite un nombre rationnel U, si à chaque nombre positif rationnel e correspond un nombre entier positif n tel que la valeur absolue de U — Uj, soit plus petite que e pour toutes les valeurs de l'entier jj égales ou supérieures à n; j'écrirai cette condition

en convenant de représenter en général par | x \ la valeur absolue du nombre x.

Au lieu de dii'e que la suite {u) a pour limite U, on écrit souvent :

lim u„ =: U.

En retournant en quej'que sorte la définition qui précède, on arrive à la conclusion suivante : Si la suite infinie de nombres rationnels (w) n'a pas pour limite le nombre rationnel U, il existe un nombre rationnel positif t jouissant de la propriété que voici : quel que soit l'entier positif n, il y a un entier p plus grand que n, pour lequel on a :

Nier en effet l'existence du nombre s', c'est dire que, si l'on se donne un nombre rationnel positif quelconque e, tout nombre entier positif n n'est pas suivi d'un nombre entier |j pour lequel on ait

C'est dire par conséquent qu'un certain entier positif n n'est suivi d'aucun entier p tel que l'inégalité précédente soit vérifiée ; c'est dire enfin que pour tout entier j? > n, on a :

ou encore que la suite ((*) admet U pour limite.