On dit que la suite infinie de nombres rationnels

(w) M,, u^, ..., ti„, ...

est convergente, si, à chaque nombre rationnel positif £, on peut fiiire

correspondre un nombre entier positif n tel que l'on ait

26 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

pour foutes les valeurs des entiers p, q égales ou supérieures à n (*). Cette inégalité montre que l'on doit avoir, pour toutes les valeurs entières de p égales ou supérieures à n,

on voit donc, puisque t est arbitraire, que, si la suite est convergente, à chaque nombre rationnel positif yj doit correspondre un nombre entier positif n tel que le terme u„ et tous ceux qui le suivent soient compris entre deux nombres rationnels dont la différence est moindre que r,; réciproquement, s'il en est ainsi, la suite est évidemment convergente. On voit encore que, si à chaque nombre rationnel positif £ correspond un entier positif n, tel que l'on ait pour tous les entiers jj >» 91,

la suite sera convergente.

Si la suite infinie

n'est pas convergente, il existe un nombre rationnel positif e' jouissant de la propriété suivante : quel que soit l'entier positif ??, il y a un entier p >- n pour lequel on a :

La démonstration est analogue à celle qui termine le paragraphe précédent.

23. Tous les termes d'une suite convergente sont, en valeur absolue, inférieurs à un certain nombre rationnel positif A.

En efïet tous les termes, à partir d'un certain rang n, finissent par être compris entre deux nombres rationnels ; on peut prendre pour A un nombre positif plus grand que le plus grand de ces deux nombres et des n premiers termes, abstraction faite des signes.

(') Celle notion est due à Ciu<"hy qui l'a introriuite à propos de la théorie des séries. Cows d'Analyse de l'Ecole royale Polyteclinique, Paris, 1821, p. 125. Elle se trouve encore dans les écrits de Bolzauo. Voir lo travail déjà cité de M. Stolz.