A(B + C) =AB + AG

est vraie quels que soient les nombres A, B, G.

On est maintenant en mesure d'étendre aux nombres irrationnels les diverses règles de calcul relatives à la multiplication.

Les propositions qui concernent les inégalités s'étendent aussi sans peine aux nombres irrationnels; on en conclut que, si l'on multiplie un nombre différent de zéro par deux nombres différents, on obtient deux produits différents ; étant donnés deux nombres A et B dont le second n'est pas nul, il ne peut y avoir qu'un seul nombre qui, multiplié par B, donne A pour produit : la recherche de ce nombre est l'objet de la division.

13. Soit A un nombre irrationnel positif. Il est clair que chaque nombre rationnel positif peut être regardé comme l'inverse d'un nombre rationnel positif. Imaginons qu'on range dans une première classe chaque nombre rationnel positif dont l'inverse est un nombre plus grand que A et dans' une seconde classe chaque nombre rationnel positif dont l'inverse est plus petit que A; on aura défini un mode de décomposition en deux classes de l'ensemble des nombres rationnels positifs, tels que chaque nombre de la première classe soit plus petit que chaque nombre de la seconde classe, tel aussi qu'il n'y ait pas dans la première classe de nombre plus grand que tous les autres, ni dans la seconde classe de nombre plus petit que tous les autres. On aura donc défini un nombre irrationnel positif; ce nombre est dit

l'inverse de A, on le représente par le symbole — • On voit de suite

que 1 est plus grand que le produit de chaque nombre rationnel positif plus petit que A pai' chaque nombre rationnel positif plus

petit que--: et que 1 est plus petit que le produit de chaque nombre

rationnel positif plus grand que A par chaque nombre rationnel positif

plus grand que -- ; on a donc :

Si A est un noml^re irrationnel négatif, on convient de représenter

par -- un nombre négatif dont la valeur absolue est l'inverse de la

valeur absolue de A ; on aura encore :

celte égalité suljsiste quel que soit le nombre A, pourvu qu'il ne soit pas nul.

Ceci posé, soient A et B deux nombres quelconques dont le second toutefois n'est pas nul; il existe un nombre Q qui, multiplié par B,

donne pour produit A, ce nombre est A X — ■> on a en effet :

AxixBz=Ax(^Bx^)=r

Ce nombre d'ailleurs est unique, comme il a été dit dans le paragraphe précédent, c'est le rapport de A à B ; on le représente par le

symbole — ■ Lorsque B =: 0, ce symbole n'a pas de sens.

14. Soit A un nombre positif quelconque et m un nombre entier positif. Il peut y avoir un nombre rationnel positifs: tel que l'on ait :

Ce nombre, s'il existe, est dit la racine «i'*""' arithmétique de A, on le représente par K A ; il ne peut d'ailleurs exister que si A est rationnel, puisque les puissances entières d'un nombre rationnel sont des nombres rationnels; enfin, s'il existe, il est le seul nombre positif dont la puissance «i'^™<= soit égale à A, puisque les puissances «l'^'^'^Me deux nombres positifs différents sont deux nombres différents.

S'il n'existe pas de nombre rationnel positif qui vérifie l'équation (1), on pourra ranger tous les nombres rationnels positifs en deux classes; la première comprendra tous les nombres rationnels positifs dont la îH**"^ puissance est un nombre plus petit que A, la seconde comprendra tous les nombres rationnels positifs dont la m*^"® puissance est un nombre plus grand que A. Chaque nombre de la première

20 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

classe est plus petit que chaque nom])re de la seconde classe; il n'y a pas dans la première classe de nombre a qui soit plus grand que tous les autres; s'il existait en effet un tel nombre «, on aurait, quels que fussent le nombre positif rationnel h et le nombre rationnel a' ^a + h,

a'" <; A <; (a + h)'" <; a'" + mit a'"' " ' (^j.

Or, si l'on désigne par a'" -t- = un nombre rationnel quelconque compris entre ci"' et A, il faudrait que l'on eût

«'" + £ <; a'" -+- m]ia""~\ It r> r ;'

cette dernière inégalité contredit la supposition faite que /i peut être pris aussi petit qu'on le veut ; on verra de même qu'il n'y a pas dans la seconde classe de nombre plus petit que tous les autres; le mode de décomposition considéré définit donc un nombre irrationnel positif; si X est ce nombre, je dis que l'on a :

en effet, si l'on désigne par a et a + h deux nombres rationnels positifs qui comprennent X, et par a' un nombre rationnel égal ou supérieur à a + /*, les nombres a"' et (« + /;)"' -< a"' + m]ia'"'~^ comprendront X"' et A; mais la différence entre les deux nombres rationnels «"• + mha'"'~^ et «'" pouvant être supposée plus petite que tel nombre rationnel positif que l'on voudra, il faut que les nombres X'" et A soient égaux; X est d'ailleurs le seul nombre positif dont la puissance /n'""'' soit égale à A; c'est la racine )>;'^"' arithmétique de A; on le représente par y^A.

15. La méthode qui a servi à étendre aux nombres irrationnels la notion des opérations arithmétiques peut être généralisée, et cela

(1) L'idenlilé

a;m ym = (^a; — y) (a? "' - 1 + a; '" -- 1/ -\- ■•■ +y '" - '), montre que l'on a

m (a; — y) y '« - 1 < X'" — If" < m (x — y) x "' - i, eu supposant x y y y '^'i.

indépendamment môme de cette notion, en sorte que les considérations que je vais développer brièvement, auraient pu être placées immédiatement après le paragraphe 9; elles ne supposent que les notions relatives à l'égalité et à l'inégalité des nombres irrationnels.

On a souvent à considérer Vensemhle de tous les nombres qui satisfont à une certaine condition; les éléments de cet ensemble, les nombres qui satisfont à cette condition peuvent être en nombre fini ou infini; ils peuvent être rationnels ou irrationnels; mais, pour simplifier, je supposerai qu'ils soient tous inégaux.

Je dirai qu'un ensemble de nombres est défini, si l'on donne le moyen de i-econnaître si tel nombre que l'on veut appartient ou n'appartient pas à Ijensemble considéré : tels sont, par exemple, l'ensemble des nombres entiers, l'ensemble des nombres rationnels plus petits que 3, ou l'ensemble des nombres rationnels dont le carré est plus petit que 3, l'ensemble considéré dans le paragraphe 9 des fractions décimales «,, u^, ... qui approchent d'un nombre irrationnel donné; telle est encore une collection finie de nombres donnés individuellement.

16. La considération d'un ensemble (E) bien défini de nombres, rationnels ou non, dont aucun ne dépasse une certaine limite L, conduit à la notion de limite supérieure relative à cet ensemble : cette limite supérieure est un nombre, rationnel ou non, défini par le mode suivant de décomposition en deux classes de la totalité des nombres rationnels, chaque nombre de la première classe étant plus petit que chaque nombre de la seconde classe :

On rangera dans la première classe chaque nombre rationnel appartenant à l'ensemble (E), ou plus petit qu'un nombre appartenant à cet ensemble; on rangera dans la seconde classe chaque nombre rationnel plus grand que tous les nombres qui appartiennent à l'ensemble (E) : le nombre M, défini par ce mode de décomposition, est irrationnel s'il n'y a pas dans la première classe un nombre plus grand que tous les autres nombres de cette classe, et s'il n'y a })as dans la seconde classe de nombre plus petit que tous les autres nombres de cette classe; à ce point de vue; le nombre K3, délini antérieurement, est la limite supérieure de l'ensemble des nombres rationnels positifs dont le carré est plus petit que 3; s'il y a dans la

première classe un noinljre plus grand que tous les autres, celui-là est le nombre que définit le mode de décomposition considéré, c'est la limite supérieure; de même, s'il y a dans la seconde classe un nombre plus petit que tous les autres nombres de cette classe, on devra prendre ce nombre pour la limite supérieure. De même, la considération d'un ensemble défini (E'), tel que tous les nombres qui en font partie soient supérieurs à un nombre l, conduit à la notion de limite inférieure relative à cet ensemble; cette limite inférieure ?/i sera définie par le mode suivant de décomposition en deux classes de h totalité des nombres rationnels : la première classe comprend chaque nombre rationnel plus petit que tous les nombres de l'ensemble (E'), la seconde classe comprend tous les nombres rationnels qui font partie de l'ensemble (E') et tous ceux qui sont plus grands que l'un des nombres de cet ensemble. A ce point de vue, le nombre VS est la limilo inférieure des nombres rationnels positifs dont le carré est plus grand que 3. Tout nombre, rationnel ou non, peut être regardé comme la limite supérieure de l'ensemble des nombres rationnels inférieurs et comme la limite inférieure des nombres rationnels supérieurs à lui :

Le paragraphe 9 a été consacré à montrer qu'un nombre irrationnel pouvait être regardé comme la limite supérieure de ses valeurs

1 1 approchées à — ? —-■> •■■ près par défaut.

17. La limite supérieure M d'un ensemble (E) jouit des propriétés suivantes : l" dans l'ensemble (E), il n'y a pas de nombres plus grands que M : s'il y avait en effet un tel nombre M., il existerait un nombre rationnel a plus petit que M, et plus grand que M; or tout nombre rationnel plus petit qu'un nombre M, qui fait partie de l'ensemble est, par définition, plus petit que M; '2° ou bien M fait partie de l'ensemble (E), ou liien, quel que soit le nombre W plus petit que M* il y a au moins un nombre de l'ensemble compris entre M et M' : en effet, si a est un nombre rationnel compris entre M et M', il faut, puisqu'il est plus petit que M, qu'il fasse partie de l'ensemble, ou qu'il y ait quelque nombre de l'ensemble qui soit plus grand que lui, nombre qui peut d'ailleurs être soit M, soit un noml)re plus petit que M et compris par conséquent entre M et M'.

Ces deux propriétés caractérisent, d'ailleurs le nombre M; elles ne peuvent en effet appai'tenir à un noml)re N plus grand que M, puisqu'il n'y a aucun nombre de l'ensemble (E), qui soit supérieur à M et par conséquent aucun nombre de cet ensemble qui soit compris entre M et N>>M; elles ne peuvent non plus appartenir à un nomljre N plus petit que M, puisqu'il y a certainement au moins un nombre de l'ensemble (E) qui est ou égal à M, ou compris entre N <; M et M, qui est donc, dans tous les cas, plus grand que N.

De même, si un ensemble (E') admet une limile inférieure «!, on voit qu'il n'y a pas de nombre appartenant à (E') qui soit plus petit que m et que, ou bien m fait partie de l'ensemble (E'), ou bien il y a des nombres de cet ensemble compris entre m et n'importe quel nombre yn' plus grand'que m (i).

18. Pour arriver à la notion de la somme de deux nombres A, B, on a considère les ensembles (A), (B) des nombres raiionnels respectivement inférieurs à A, B, les ensembles (A'), (B') des nombres rationnels supérieurs respectivement à A, B; l'ensemble (S) des nombres différents obtenus en ajoutant un nombre de (A) et un nombre de (B), l'ensemble (S') des nombres différents obtenus en ajoutant un nombre de (A') et uii nombre de (B'); les nombres A, B sont les limites supérieures et inférieures des ensembles (A), (B), (A'), (B'); on a prouvé que la limite supérieure de l'ensemble (S) était égale à la limite inférieure de l'ensemble (S'), et c'est ce nombre même qui a été pris pour la délînition de la somme A + B. De même pour la multiplication.

La notion des opérations aritbmétiques ayant été étendue aux nombres irrationnels, je puis ajouter les remarques suivantes qui sont ou évidentes ou très aisées à démontrer.

Si l'on désigne par (A) un ensemble admettant pour limite supérieure le nombre A, la différence entre A et un nombre quelconque

(') C'est M. Weierstrass ([iii a iniroduit les mots limite supérieure, limite inférieure {obère Orenze, viitere Grenue] et qui a appelé l'attention sur ces importantes notions. Celles-ci ont toutefois été relrouvécs dans les œuvres de Bolzano, géomètre qui vivait au eommenccment de ce siècle, mais dont les écrits, plus riclies en idées insênieuses ([u'en faits mathcm.stiques, n'ont ])as attiré tout d'abord l'attention qu'ils méritent.

(Voir dans le tome XVIII des MathematiscUe Annalen, un article de M. Slolz intitulé : P. Bolzano's Bedeutiing in der GescMchtc der Infimtesimalsrcclimmg.)

24 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.

de (A) est positive ou nulle; si l'on se donne un nombre positif quelconque z, il y ;i dans l'ensemJjle (A) des nombres qui rendent cette différence plus petite que s.

Si l'on désigne par (A), (B) deux ensembles admettant pour limites supérieures les nombres A, B, l'ensemble des nombres différents que l'on peut obtenir en ajoutant un nombre de (A) et un nombre de (B), a pour limite supérieure le nombre A + B.

Si les deux ensendjles (A), (B) ne comprennent que des nombres positifs, l'ensemble des nombres diflërenis que l'on peut obtenir en multipliant un nondire de (A) par un nombre de (B), a pour limite supérieure le produit AB des limites supérieures des deux ensembles, etc..

19. Je vais maintenant me placer à un autre point de vue, qui a 'été signalé paragraphe 10, et montrer comment on peut définir un

nombre irrationnel au moyen d'une suite infinie de nombres rationnels. Les propositions relatives aux .suites spéciales que je vais considérer, propositions qui s'étendent à des suites analogues à termes irrationnels, jouent dans l'analyse un rôle essentiel; la notion des opérations arithmétiques étant maintenant étendue aux nombres irrationnels, rien n'empêcherait d'énoncer- et d'établir ces propositions dans toute leur généralité; mais on n'y gagnerait pas beaucoup sous le rapport de la brièveté; je no supposerai donc acquises que les notions relatives à la définition, à l'égalité et à l'inégalité des nombres irrationnels, je ne considérerai d'abord que des suites à termes rationnels, je montrerai comment elles permettent d'étendre aux nomlires irrationnels la notion des opérations arithmétiques. Les paragraphes qui suivent ne supposent que les notions et définitions exposées dans les neuf premiers paragraphes.