Une suite infinie de nombres rationnels

telle qu'aucun terme ne soit suivi d'un terme qui soit plus petit que lui el dont tous les termes sont inférieurs à un nombre fixe A est convergente.

Supposons en efTet que cette suite ne soit pas convergente et soit e' le nombre positif dont on démontre l'existence pour chaque suite non convergente (§ 22) ; on pourra déterminer une suite d'indices croissants n, n,, «2, ..., tels que l'on ait

d'ailleurs, les différences -h„ — i/„, u,,^ — t<„, ... sont toutes positives, à cause de la nature de la suite; en additionnant donc entre elles p inégalités consécutives telles que les précédentes, on trouvera :

tf ,, — if„ — P s' j

ce qui montre qu'on pourrait prendre p assez grand pour que le terme u,, dépassât telle limite qu'on voudrait, et, en particulier, le nombre A.

On pourrait dire plus brièvement, en se reportant au paragraphe 17, que les termes de la suite (if) doivent 'finir par être compris entre deux nombres quelconques comprenant entre eux la limite supérieure de l'ensemble formé par les nombres distincts qui entrent comme termes dans cette suite.

On démontrera de même qu'une suite (h), telle qu'aucun terme ne soit suivi d'un terme plus grand que lui et dont tous les termes sont supérieurs à un nombre fixe B, est convergente.

25. Par exemple, un nombre décimal indéfini, dans lequel les chiffres se suivent dans un ordre déterminé quelconque, ne représente rien jusqu'à présent, mais on peut affirmer que la suite infinie dont on obtient le terme général it,, en s'arrêtant au n^^"^" chiffre décimal

est convergente, ainsi que la suite dont le n'^°'^ terme est h„ + — — ;

les termes de la première suite, en effet, ne vont jamais en décroissant,

à mesure que l'indice augmente, et chaque terme reste inférieur à un terme quelconque de la seconde suite; de môme, les termes de la seconde suite ne vont jamais en croissant quand le rang augmente, et restent supérieurs à un terme quelcon([ue de la première suite.

2S. Voici maintenant une propriété des suites convergentes, qui va servir à montrer comment ces suites définissent toujours un nombre rationnel ou irrationnel.

Soit une suite convergente de nombres rationnels

(u) it,, u.^, ..., i(„, ...

qui n'admette pas zéro pour limite (§ 21) : tous les termes de cette suite finissent, après un certain rang n, par être tous de même signe et plus grands en valeur absolue qu'un certain nombre rationnel positif £.

En effet, après un certain rang, tous les termes de cette suite finissent par être compris entre deux nombres rationnels dont la différence peut être supposée^ moindre (jue tel nombre positif rationnel y; que l'on voudra (§ 22). Si ces deux nombres sont de même signe et qu'aucun ne soit nul, le théorème est vérifié; si les deux nombres rationnels ayant entre eux une différence moindre que r„ qui comprennent les termes de la suite {u) dont le rang est égal ou supérieur à l'entier n qui correspond à r, (§ 22), sont de signes contraires, ou si l'un d'eux est nul, la valeur absolue de chacun de ces termes est moindre que r^ ; s'il en est ainsi quelque petit que soit -r;, la suite a zéro pour limite.