Soit

une suite convergente de nombres rationnels ; ou elle admet pour limile un nninlire rationnel U, et dans ce cas je conviendrai de dire ({u'elle (lélinit ce nombre U; ou il n'en ^st pas ainsi, et alors elle (I(''liiii1 un mode de décomposition en deux classes de la totalité des nombres rationnels, classes telles que chaque nombi'e de la première soit inférieur à chaque nombre de la seconde, telles en outre qu'il n'y ait point, dans la première classe, de nondjre plus grand que les

autres nombres de la même classe, ni, dans la seconde classe, de nombre plus petit que les autres nombres de la même classe.

Soit en efTet, dans la seconde supposition, a un nond)ie l'ationnel quelconque, les termes de la suite

{u') )f, — rt, n.^ — rt, ..., u,^ — a, ...

qui est évidemment convergente et qui n'admet pas zéro pour limite, puisque a n'est pas limite de la suite (tt), finissent après un certain rang par être tous positifs ou tous négatifs ; dans le premier cas, on rangera a dans la première classe, dans le second cas, on le rangera dans la seconde classe : il est clair que tout nombre de la première classe, défini comme on Vient de le faire, est plus petit que tout nombre de la seconde classe.

Il n'y a pas dans la première classe de nombre plus grand que tous les autres; si a est en efiet un nombre de la première classe, les termes de la suite (u') sont, après un certain rang ?i, tous positifs et plus grands qu'un certain nombre positif rationnel s. Si 6 est un nombre compris entre a et a + s, il est clair que, après le rang ?i, les termes de la suite

Kj — h, u.^ — b, ..., !(„ — 6, ...,

sont tous positifs et que h appartient aussi à la première classe. Le même mode de raisonnement s'appliquerait à la classe supérieure. On a donc affaire à un procédé de décomposition en deux classes de la totalité des nombres rationnels qui définit un nombre irrationnel. En résumé si la suite (h) n'a pas pour limite un nombre rationnel, elle peut servir à définir un nombre irrationnel. Si une suite convergente à termes rationnels

définit un nombre U, rationnel ou non, soit comme limite de cette suite, soit d'après la règle précédemment expliquée, le nombre U sera certainement compris entre les deux nombres rationnels a, h, si ces deux nombres comprennent entre eux tous les termes de la suite {u), après un certain rang; cela est clair si le nombre U est irrationnel, puisque alors le plus petit nombre a est dans la classe intérieure

relative an nombre U et le nombre h dans la classe snpérieure. Si U est la limite (rationnelle) de la suite (u), on ne peut avoir

car les inégalités

supposent que la différence U — «„ soit toujours, quel que soit n, plus grande que U — h : on voit de la même façon que U ne peut être inférieur à a; on a donc :

Réciproquement il est clair que si, quels que soient les nombres rationnels «, h qui comprennent le nombre rationnel ou non U, les termes de la suite (u) finissent toujours, après un certain rang, par tomber entre a et h, cette suite est convergente (§ 22) et définit un nombre égal à U.

Toute suite convergente de nombres rationnels

définit donc un nombre rationnel ou non U; réciproquement, un nombre quelconque U peut être défini par une telle suite; si U est rationnel, on peut prendre en particulier pour la suite (w) une suite infinie dont tous les éléments soient égaux à U ; si U est irrationnel, on peut prendre pour (ii) la suite des valeurs approchées par défaut

(ou par exc(is)a j^, —, •••> —, - près.

Observons encore que si la suite (h) n'a pas pour limite zéro, le nombre U qu'elle définit est positif ou négatif, suivant que les termes de cette suite, à partir du rang où ils ont tous le même signe, sont positifs ou négatifs. Enfin la suite

(m') — u,, — tt„ ..., — n,., ...

est convergente et définit le nombre — U ; car si après le rang n les termes de la suite (n) tombent entre les nombres rationnels a, fo, les termes de la suite {u'), à partir du même rang, tomberont entre — & et — a.

.., tA„, ...,