IL\, H

28. Voici maintenant quelques remarques sur lesquelles repose la théorie des opérations à effectuer sur les nombres définis par des suites; plusieurs d'entre elles sont assez simples pour qu'on se soit contenté de les énoncer.

Si l'on considère à la fois plusieurs suites infinies (en nombre fini) de nombres rationnels

il y a un nombre positif A auquel tous les termes de ces suites sont inférieurs, en valeur absolue.

Étant donné un nombre positif rationnel s, il y a un nombre entier positif n tel que, sous la condition que les entiers p et q soient au moins égaux à n, on puisse affirmer que les quantités | u^ — Ug | , I "^P — '^V M ^'-j' — ^^'? i' ••• sont moindres que e. Le nombre n peut en effet être déterminé pour chacune des suites ; on prendra le plus grand des nombres trouvés.

Si les suites (it), (f), (lo), ... ont pour limites les nombres rationnels U, V, W, ..., à chaque nombre positif e correspond un entier positif n tel que l'on ait à la fois :

I n, - U i < s, I t', - V |<: £, I icv - W | < s,

pourvu que le nombre entier p soit supérieur à n. Si les deux suites infinies de nombres rationnels

sont convergentes, il en est de même des deux suites

M, + r,, If, + r.„ ..., if„ + i'„, ... u,x\, «,r.^, ..., if„i'„, ...

Je me contente de faire la démonstration pour la seconde suite : au nombre positif £ faisons correspondre l'entier positif n de telle façon

32 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

que, pour p ^ ?i, on ait :

en posant pour al)réger

on aura :

Or si l'on désigne par A un noml)re rationnel supérieur à la valeur absolue de tous les termes des suites (u), (v) et si l'on suppose que e soit plus petit que 1, on aura :

Par conséquent e' étant un nombre positif rationnel quelconque, si l'on prend

et que l'on détermine n comme on vient de l'expliquer, on pourra affirmer que, sous la condition 21 ^ >i, on a :

la convergence de la suite considérée est donc démontrée.

Si les deux suites (tt), {v) ont pour limites respectives des nombres rationnels U, V, les deux suites

auront respectivement pour limites U + V et UV.

Pour démontrer cette proposition, relativement à la seconde suite, il suffira de remplacer dans la démonstration qui précède, ^^.,^ et v„ par U et V et de regarder A comme un nombre supérieur au plus grand des deux nombres | U | et ] V | .

En appliquant plusieurs fois de suite les propositions précédentes, qui s'appliquent d'ailleurs aux suites (évidemment convergentes) dont tous les termes sont égaux, on arrive à la conséquence suivante :

Étant données plusieurs suites infinies convergentes de nombres