ET DES LIMITES

et un polynôme F (u, i\ ic, ...), à coefficients rationnels, entier par rapport aux quantités n, v, tv, ... la suite infinie (F) dont le n'*™'' terme est le nombre rationnel F (h„, r„, ty„, ...) est convergente.

Si les suites (it), (r), (if)» ••■' ^'^^^ respectivement pour limites des nombres rationnels U, V, W, ..., la suite (F) aura pour limite le nombre rationnel F (U, V, W, ...).

29. Si les deux suites infinies convergentes de nombres i-ationnels

définissent les deux nombres rationnels ou non U, V ; suivant que l'on aura :

U = V, U>V, U<V; la suite

aura pour limite zéio, définira un nombre positif, ou définira un nombre négatif.

Supposons en effet U = V et soient a, h deux nombres rationnels qui comprennent entre eux le nombre U; après un certain rang n les termes des deux suites (u), {v) finiront par tomber enti^e a et h; à partir de ce rang les termes de la suite (w) seront en valeur absolue moindres que h — a; or on peut supposer ce dernier nomltre moindre que tel nombre positif rationnel e que l'on voudra.

Supposons U <; V; soient/), /)', q, q' des nombres rationnc^ls tels que l'on ait,

à partir d'un certain rang n, les termes de la suite (u) finiront par tomber enti'e p et ^j', et ceux de la suite (r), entre q et ^jf' ; à partir de ce rang, les termes do la suite (c) seront supérieurs Tannery. — TlUorie. 3

34 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

au nombre positif g — p' . La démonstration est la même lorsqu'on a U > V.

Cette proposition est de celles qui entraînent N'ur réciproque; on peut affirmer que si les suites («), (r) sont converg'entes, et définissent les nombres U, Y, on a, suivant que la suite converriente (iv) a pdur limite zéro, définit un iKUiibrc jiositif, ou délinit un nombre négatif,

Au surplus le lecteur démontrera directement cette proposition sans aucune peine.

30. Soient encore U, V deux nombres rationnels ou non, définis par les suites convergentes, à éléments rationnels,

la suite

(ir) (f, + r„ u, -h t\, ..., i(„ + t\, ...,

est aussi convergente; elle définit le nombre U + Y si les deux nombres U, V sont rationnels; on peut regarder le nombre W qu'elle définit dans tous les cas comme étant, par définition, la somme U + Y des nombres U, Y. Pour justifier cette définition, il faut luouver qu'on arriverait au même nombre ^Y en partant de deux autres suites convergentes à termes rationnels

(m') w,', ui, ..., «;, ...,

{V) r,', vl, ..., r,:, ...,

qui détinii'aient, elles aussi, les nombres U et Y; il suffit pour cela de prouver ({ue la suite dont le terme général est

a pour limite zéro; or cela résulte de ce que ce terme peut s'écrire

{u„ — u'„) + {i\ — i\) et de ce que les suites dont les n''"^"^ termes sont respectivement

"**« — '*'« <?t i\^ — r,', ont pour limites zéro, puisque les suites (u) et (h') définissent le même nombre U, et que les suites (r) et (v') définissent le même nombre V.

La définition de l'addition donnée ici coïncide avec celle qui a été donnée au paragraphe 11; car si a, a' , 6, h' désignent des nombres rationnels tels que l'on ait

les termes des suites (w), (v) finissent, après un certain rang n, par tomber respectivement entre a et a', entre b et h'. A partir de ce moment les termes de la sujte (W) tombent entre a + h et a' + h' ; on a donc

a + ?> <; U 4- V <; «' + b' , etc.

On établira sans peine, à l'aide de la nouvelle définition, les propositions qu'expriment les égalités

J'ajoute que les règles données pour reconnaître si deux nombres définis par deux suites convergentes dont les termes sont rationnels, sont inégaux, et lequel des deux est le plus grand, montrent que la somme de deux nombres est plus grande ou plus petite que le premier d'entre eux, suivant que le second est positif ou négatif, et que si l'on ajoute à un même nombre deux nombres difterents, on obtient deux sommes différentes.

On en conclut que, étant donnés deux nombres U et V, il n'y a qu'un seul nombre qui ajouté à V reproduise U; on l'oljtient d'ailleurs en ajoutant — Va U et l'on écrit le résultat U — V ; on a en effet, d'après les principes relatifs à l'addition,

Au surplus si les deux nombres U, V sont définis par les deux suites

leui' (.liflerence U — V sera définie par la siiile

"i — ''lî *'2 — ''25 •••' "« — ''"' ■••

Cette (liflerence sera positive, nulle, ou négative suivant que l'on aura U >- V, U = V, U <: V. Les propositions relatives aux égalités ou inégalités, d'après lesquelles on peut ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres, faiie passer un terme d'un membre dans l'autre, s'étendent, en vertu de ce qui précède, des nombres rationnels aux nombres irrationnels.

31. Si U et V sont deux nombres définis par les deux suites convergentes à termes rationnels

la suite convergente

aura pour limite UV si U et V sont rationnels et, dans les autres cas, définira un nombre W que l'on pourra regarder comme étant, par définition, le produit UV des deux nombres U, V.

Cette définition, comme celle de l'addition, doit être justifiée; on le fera sans peine en employant le procédé indiqué au paragraphe '28.

Les théorèmes relatifs aux produits de facteurs s'étendent immédiatement aux cas où ces facteurs sont irrationnels.

Le produit UV ne peut être nul que si l'un des facteurs est nul, puisque, si aucune des suites (m), (v) n'a pour limite zéro, leurs termes sont tous, après un certain rang, supérieurs en valeur absolue à un certain nombre positif; il en est donc de même de la suite (w). Si l'un des facteurs est nul, le produit est nul.

La règle des signes se généralise sans difticulté.

Si U, V, "W sont trois nombres quelconques, on a :

(U + V) W rrz U AV + VW.

En iiiiillipliaiil un même nombre non égal à zéro par deux nombres différents, le sens de l'inégalité obéit à la même loi, qu'il s'agisse de nombres rationnels ou de nombres irrationnels.

CIIAP. l". — DES NOMBRES IRRATIONNELS ET DES LIMITES. 37

32. Soient U, V deux nombres définis par les deux suites convergentes à termes rationnels

(u) K,, Hj, ..., w„, ...,

Si V est nul sans que U le soit, il n'y a aucun nombre qui multiplié par V reproduise U; si V n'est pas nul, un tel nombre, s'il existe, est unique; cela résulte des remarques linales du dernier paraii-rapbe; s'il était prouvé que la suite

est convergente, le nombre qu'elle définirait répondrait à la question.

Avant de prouver cette convergence, il convient de remarquer qu'un certain nombre de termes de la suite (iv) peuvent être privés de signilication; ce sont ceux qui présenteraient un dénominateur nul. Toutefois puisque la suite (v) n'a pas pour limite zéro, après un certain rang, on n'y rencontre plus de termes nuls; à partir de ce même rang, on ne rencontrera plus dans la suite (w) de ces termes exceptionnels; quant à ceux que l'on pourrait rencontrer au commencement, rien n'empêcbe de les supprimer ou de les remplacer par tels nombres rationnels que l'on voudra : c'est la suite ainsi modifiée que je considérerai désormais.

Puisque la suite convergente (v) n'a pas pour limite zéro, à partir d'un certain rang tous les termes sont, en valeur absolue, supérieurs à un certain nombre rationnel positif w ; soit d'un autre côté s un nombre rationnel positif quelconque ; il y aura un entier positif n tel que sous la condition p ^ ??, on ait

I v^, I > (.), I aj < £, I ,3;, I < s,

en posant pour abrégci',

y-,, = "y, — "„, Pi< = «V — t\r

Maintenant on

et par conséqueni, en désignant par A un nombre r.ilionncj positif

38 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

supérieur aux valeurs absolues des termes des suites (u), (v),

tt„ I 2 As i\ or

A, (I) sont des nombres fixes, s est arbitraire; on voit donc que, quelque petit que soit le nombre rationnel positif e', il existe un indice n tel que sous la coudilion j) ^n, on ait :

La convergence de la suite ((/') est donc démontrée. La suilc (w) déiinil donc un nondjre W, rationnel ou non, tel que l'on ait

U = vw,

le nombre étant nécessairement unique, il n'est pas utile de démontrer ici que, si les deux suites convergentes à termes rationnels

(il') ii[, iil, ..., ;/',, ...,

définissent aussi les nombres U, V, la suite {w') -T' -, ' •••' -7' •••'

définira encore le nombre W ; au surplus la démonstration ne présenterait aucune difticulté.

33. La définition des quatre opérations fondamentales de l'arithmétique, les propriétés essentielles concernant ces opérations, les règles élémentaires relatives à la transformation des ég-alités et des inégalités sont maintenant étendues aux nombres irrationnels, et l'on est à même de doiuioi' tout d'un coup une exlensit)n considérable aux notions qui ont été notre point de départ. Ilien n'empêche en effet de considérer des suites infinies

dont les termes sont des nombres rationnels ou irrationnels. La

suite (u) sera donnée, si l'on donne le moyen de déterminer un terme quelconque m„, connaissant son rang ; on entend par là, si l'on a atTaire à un nombre irrationnel, que l'on donne le moyen d'effectuer cette décomposition en deux classes de la totalité des nombres rationnels qui définit un nombre irrationnel, ou que l'on donne une suite infinie convergente à termes rationnels

qui définisse, au sens du paragraphe 27, le nombre t(„.

On dira qu'une telle suite {u) est convergente si, s étant un nombre positif quelconque, il existe Un indice n tel que, sous les conditions /j ^ H, 7 ^ n, ou ait

définition légitime puisque l'opération u^, — if^ a un sens, ainsi que l'inégalité môme; l'extension des propositions démontrées à propos des suites à termes rationnels se fera d'elle-même; il suffira de supprimer cette épitbète rationnel là où elle n'a été mise que pour avoir affaire à des opérations connues. On dira que la suite (m) a pour limite un nombre rationnel ou irrationnel U si, quel que soit le nombre positif s, il existe un nombre entier positif n tel que sous la condition jj >> h, on ait :

Si la suite (h) est convergente et n'a pas pour limite 1(^ nombre a, la suite

jouira de la propriété que voici : à partir d'un certain l'ang )î, tous les termes sont de même signe et supérieurs, en valeur absolue, à un certain nombre positif w.

On en conclura qu'une suite convergente {u) admet une limite rationnelle ou définit un nombre irrationnel; la décomposition de la totalité des nombres rationnels en deux classes se fera comme il a été expliqué au paragraphe 27; on mettra dans la première classe le nombre rationnel a si les termes de la suit(>

40 THKonir: dks fonctions d'une variable.

sont api'ès un ccriain rani;- Ions positifs; on iiieltra ce nombre dans la

seconde classe, si les termes de cette suite finissent par devenir

nép^atifs.

34. Il importe de remarquer maintenant qu'une suite convergente admet pour limite le nombre ([u'elle définit. Il n'y a lieu à démonstration que si ce nombre est irrationnel.

Soit donc

(u) (/,, (fj, ..., )(„, ...,

une suite convergente qui définisse un nombre irrationnel U ; soient a, h deux nombres rationnels qui comprennent le nombre U; le raisonnement du paragraphe 27 monti'(> que tous les termes de la suite (a) finissent après un certain rang /; par tomber entre a et h; leur diflér(>nce avec U est alors, en valeur absolue, moindre que \ h — a \; mais ce dernier nomltre, pouvant être supposé aussi petit qu'on le veut, il est bien prouvé que la suite (u) a U pour limite. Réciproquement on aperçoit de suite que toute suite qui admet une limite est convergente.

En particulier, une suite infinie dont les termes vont en croissant (ou plutôt sans jamais décroître) à mesure que leva- rang augmente et restent inférieurs à un nombre ii\e A, est convergente, elle admet donc une limite. On aperçoit de suite que cette limite ne peut être inférieure à un terme de la suite quel qu'il soit. Une proposition toute pareille concerne les suites dont les termes vont en décroissant continuellement et restent cependant supérieurs à un nombre fixe.

35. Si, au lieu de recommencer toute la tbéorie des nombres irrationnels, en prenant pour point de départ les suites convergentes, on avait voulu utiliser les notions établies dans les paragraphes 41, 12, 13, l'elativeinent aux opérations ai'ithmétiques, on aurait pu énoncer beaucoup plus tôt la proposition fondamentale du paragraplie précédent. Toutefois, on n'y aurait guère gagné que de pouvoir énoncer dans toute leur généralité les propositions contenues dans les paragraphes 20-29, tandis qu'on a été obligé de se re.streindre à la considération dos suites à tmiios lationnels. Une fois la notion des opérations arithmétiques ac({uises, soit ])ar un procédé, soit par un

autre, la généralité de ces propositions et des démonstrations qu'on en a données s'aperçoit d'un seul coup d'œil. Je me contenterai d'énoncer le théorème suivant (§ 28).