V, IV

une fonction rationnelle dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes entiers par rapport aux variables u, r, lo, ...; si Ton n'a pas

la suite iulinie dont le n'^'™*^ terme est

etc., dont on supprime toutefois, s'il y a lieu, les termes, en nombre nécessairement fini, qui auraient un dénominateur nul, a pour limite :

et cela que les nombres h, r, a\ ..., U, V, W, ... soient rationnels

37. Le sens qu'il faut atlriliuer à cvs mots : limite d'une suite iufinic, a été suffisamment éclairci dans les paragraphes qui précèdent; je terminerai ce chapitre en indiquant une autre acception du mot limite, à laquelle conduit la considération des ensembles.

Soit (E) l'ensemble des nombres distincts, rationnels ou non, qui satisfont à une condilioii ilnimée quelconque (,^ 15), et supposons

42 TIIKORIE DES FONCTIONS d'uNK VARIABLE.

que (E) comprenne un nombre infini d'éléments; on dira que le nombre x est une valeur limite de l'ensemble (E) si, quelque petit que soit le nombre positif a, il existe une infinité de nombres appartenant à l'ensemble (E), compris enlre x — a et x + a. Par exemple si la suite infinie

(h) -?(,, Hj, ..., ?<„, ...

admet pour limite le nombre .r, et si cette suite admet une infinité de termes distincts, ce nombre x sera une valeur limite (évidemment unique) de l'enisemble (E) dont les éléments sont les termes distincts de la suite {u); il est à remarquer que, dans cette nouvelle notion, l'ordre des éléments n'intervient pas. Un nombre irrationnel peut être regardé comme une valeur limite de l'ensendïle de ses valeurs approcbées à a près, a étant un nombre rationnel positif quelconque; si l'on considère l'ensemble des nombres rationnels compris entre zéro et un, tout nomltre compris entre zéro et un peut être regardé comme une valeur limite de cet ensemble. Cette notion conduit au tliéorème suivant, qui est dû à M. Weierstrass.

38. Tout ensemble (E), dont les éléments, supposés distincts et en nombre infini, sont, en valeur absolue, inférieurs à un nombre A, admet au moins une valeur limite x.

Tous les nombres de l'ensemble sont en effet compris entre — A et + A; partageons en dix intervalles égaux l'intervalle de — ^ A à + A; ces intervalles seront limités par les nombres

il y a assurément un nombre infini de valeurs de l'ensemble qui tombent dans un intervalle partiel ; autrement, le nombre des éléments de l'ensemble serait fini; soit a,, b, (a, -<; 6j) l'un de ces intervalles où tombent un nombre infini d'éléments, en décomposant de même l'intervalle de a, à h^ en dix intervalles égaux, limités par les nombres

on trouvera encore un intervalle partiel limité par les nombres «j, h.

tels que '

l'on ait

CIIAP. I. — DES NOMBRES IRRATIONNELS El DES LIMITES. 43

(«2 <; 6j), dans lequel tombera un nombre infini d'éléments ; en continuant toujours de la même façon, on formera deux suites infinies

telles en outre que chaque terme.de la première soit inférieur à chaque ferme de la seconde; ces deux suites sont convergentes et admettent une même limite x. Mais dans chaque intervalle limité par deux termes correspondants quelconques a„, ?>„, il tombe une infinité de nombres appartenant à l'ensemble (E) ; puisque, quel que soit le nombre a, les termes des suites (a) et (h) sont, après un certain rang-, tous compris entre x — a et .r + a, il est bien prouvé que x est une valeur limite de l'ensemble (E).

39. L'ensemble (E') des valeurs limites d'un ensemble (E) est lui-même un ensemble bien défini, qui peut d'ailleurs être composé d'un nombre fini ou infini d'éléments; l'ensemble (E') est dit dérivé de l'ensemble (E); on peut aussi considérer l'ensemble (E") dérivé de .l'ensemble (E'), etc. M. G. Cantor a fait une étude approfondie des propriétés qui naissent de la considération des ensembles dérivés (i).

(') Acta Matliemaiica, I. IL