Soit
une suite infinie quelconque.
La série (S) «1 + n, + ... + M„ + ...,
est dite convergente si la suite infinie (s) Sp s,, ..., .s„, ...,
où
s, = if,, s, = «, + Itj, ..., S„ = M-, + W, + ... + M,„ ...,
est elle-même convergente, la limite S de cette suite, ou si l'on veut, la limite, pour n inlini, de la somme des n premiers termes de la série (S) est dite alors la somme de la série (S) .
Une série qui n'est pas convergente est divergente. Par exemple, l'identité
montre que la somme des n premiers termes de la série 1 4- X + x'^ + ... -t- X-"-' -i- ...,
tend, lorsque n augmente indéfiniment vers ■> quand x est
compris entre — 4 et + 1 ; cette série est convergente quand la valeur absolue de x est plus petite que un. La même identité montre que la valeur absolue de la somme des n premiers termes augmente indéfiniment avec n quand on a | x | >- 1 : dans ces conditions la série est divergente. On voit directement qu'il en est de même pour X = i. Enfin, quand x ^ — 1, la somme des n premiers termes est zéro ou un selon que n est pair ou impair; cette somme ne peut avoir de limite pour n infini; la série est encore divergente. 11 convient de remarquer, en supposant la série (S) convergente, que si l'on considère une suite inlinie de nombres entiers positifs
telle que a„ grandisse indéfiniment avec 7i, la suite infinie
Sa,, Sj(j, ..., .Sa„, ...,
aura pour limite la somme S de la série (S).
46 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.
42. Il serait naturel de dire, par analogie avec les séries, que le produit infini
est convergent, quand la suite infinie
{p) l\,lh^ ■■■.V,n •••,
où
/), rr: H,, ^J^ = H, Hg, . . ., y)„ = H, )/,... H,„ .. .,
est convergente et d'appeler valeur du produit infini la limite de cette suite; toutefois, pour le moment, je ne regarderai un tel produit comme convergent que si cette limite est différente de zéro; ainsi le produit infini
-XgX-X... x-x ...,
pour lequel
Pn =
tend évidemment vers zéro quand n augmente indéfiniment, ne doit pas être regardé comme convergent; un produit infini convergent, dans le sens restreint du mot, ne peut admettre aucun facteur nul. L'identité
1 x'-" 1 — x^ 1 — ce'* 1 — x'-"
1 — X 1 — xl — X' i cc-"~^
= {l+x) (1 + x') ... (1 + x'-""') montre que le produit infini
(1 + .'■) (1 + x') (1 + cc^) ... (1 + x'") ...
est convergent et que sa valeur est quand la valeur absolue
de x est plus petite que un ; le même produit est divergent pour les autres valeurs de x.
43. Il est clair que les deux .séries (S) «, 4- «2 + ••• + «„ + U„ + i + H „ + 2 + •■•,
(S' ) U„ + i -\- 1( n + 2 + ■■■ -i- If n+p + ■■•
sont convergente.s ou divergentes en même temps ; car si l'on conserve les notations du paragraphe 41 pour la première série et que, pcjur la seconde, on fasse
les deux suites
étant telles que deux termes de même rang diffèrent de s„ sont convergentes en même temps; leurs limites, si l'une d'elles est convergente, différent aussi de s„; si la série (S) est convergente, la somme de la série (S'), égalemenl convergente, s'appelle le reste de la série (S) bornée au terme u„.
De même, si l'un des deux produits infinis
ît,«, ... U„U„+l Uu + 2 ••-, U ,i 4. 1 ît ,j 4- 2 ... U ,1+2) ...,
est convergent, il en est de même de l'autre, et dans ce cas, la valeur du premier produit infini est égale à celle du second multipliée par u^, u.^, ..., H„.
Cette remarque est utile lorsqu'on a à décider de la convergence ou de la divergence d'une série ou d'un produit infini dont les premiers termes présentent quelque irrégularité.
44. En se reportant à ce qui a été dit pour les suites infinies qui admettent une limite (§ 36), on aperçoit de suite la vérité des propositions suivantes.
Si les séries
sont convergentes et admettent pour sommes les nombres S et T,
les séries
«(/, 4- «H., -I- a if 3 + ..., (î<., -t- %\) + (u, + i\) + ... + (h„ -f- î'„) + ..., ("1 — ^\) + ("i — ''s) + ••• + ("« — i'«) 4- •••,
sont aussi convergentes et admettent respectivement pour sommes
48 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.
«S, S -f- T, S — T : le lecteur trouvera sans peine des énoncés analogues pour les produits infinis.
45. D'après la définition des suites convergentes, pour qu'une série
soit convergente, il faut et il suffit que, à chaque nombre positifs corresponde un entier positif n tel que l'on ait, quel que soit l'entier positif «(,
On voit en particulier que, si la série est convergente, u.„4. i = s,, + i — s„ doit décroître indéfiniment quand n augmente indéfiniment : cette condition ne suffit pas d'ailleurs à la convergence, comme on le verra plus tard. De la proposition générale résulte immédiatement celle-ci : Quand une série est convergente et a tous ses termes positifs, elle reste convergente quand on modifie le signe de tel terme que l'on veut ou que l'on remplace un ou plusieurs termes par des nombres plus petits en valeur absolue ; en effet, dans la série modifiée, la somme
\U„ + , + Un + 2 + ••• + u„ + p I
est au plus égale à la somme analogue dans la série proposée.
De même, quand une série a tous ses termes positifs et qu'elle est convergente, il en est de même de toute série qui s'en déduit par la suppression d'un nombre fini ou infini de termes, de tous les termes de rang pair par exemple. On retrouvera plus tard ces propositions en suivant une autre voie.
