Pour qu'un produit infini

(P) t<l«j ... Un •••

soit convergent, il faut et il suffit que, h chaque nombre positif e réponde un entier positif n tel que l'on ait, quel que soit l'entier

(') Caucliy, Cours d'Analyse, etc., p. 125.

positif >n,

(1) \Pn + m — 'Pa I = | «-.'". ••• n„ ( l — It „ + i ^t „ + 2 . . . U „ + m) 1 < £•

Puisque, si le produit infini (P) est convergent, la suite

Pi = W,, p^ = Itjtfj, ..., p^ rr: U^u^ ... î*„, ...,

a une limite différente de zéro, ces termes, à partir d'un certain rang i sont supérieurs en valeur absolue à un certain nombre positif a; si l'on désigne par ^ un nombre au plus égal au plus petit des nombres

on aura, quel que soit n,

] u,u, ... î*„ I > p et par suite, l'inégalité (1) entraîne la suivante :

1 1 — W„ + i Un + 2 ■■■ il„ + m i <!'

et cela quel que soit m.

Inversement si, à chaque nombre positif •/;, répond un entier positif n tel que l'on ait, quel que soit l'entier positif m,

on peut affirmer que le produit infini (P) est convergent; on aura alors en effet, en conservant toujours les mêmes notations,

\Pn + m—Pn 1 < I tf , «a ••• l^n \ '0

et. il suffit de supposer -q choisi de façon que l'on ait

pour retomber sur l'inégalité (1).

En particulier, pour que le produit infini P soit convergent, il faut que les quantités | 1 — u,^ + 1 \ tendent vers zéro quand n augmente indéfiniment; cette condition toutefois n'est pas suffisante.

On a l'habitude, qui sera suivie désormais, d'écrire un produit infini sous la forme

Tannery. — Théorie. i

50 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

alors, si le produit infini est convergent, les quantités t'„ tendent vers zéro quand n augmente indéfiniment.

47. Parmi les séries, il y a lieu de considérer particulièrement celles qui restent convergentes lorsque l'on remplace tous leurs termes par leurs valeurs absolues : ce sont celles-là seules, comme on le verra plus tard, qui méritent le nom de sommes, en ce sens qu'elles jouissent des propriétés essentielles des sommes d'un nomhre fini de termes : on peut, en effet, changer l'ordre de leurs termes, remplacer plusieurs termes par leur somme effectuée, sans modifier leur valeur. On conçoit donc qu'un intérêt spécial s'attache à l'étude de la convergence des séries à termes positifs; aussi donnera-t-on dans la suite diverses règles pour reconnaître cette convergence; mais il importe de faire dès à présent la remarque suivante :