Si la série

(S) «, + u^ + Mj + ... i/„ + ...

a tous ses termes positifs, la suite

(s) s, =r tt,, Sj = ttj 4- U^, ..., S„ = U^ + tfj + ... + tt„, ...

est telle que tous ses termes aillent constamment en croissant; elle est donc convergente ou divergente suivant qu'il restent au-dessous d'une limite fixe, ou qu'ils grandissent indéfiniment.

Dans le premier cas, si tous les termes de la suite (s) sont inférieurs à un nombre positif A, la série (S) est convergente et a une somme au plus égale à A ; dans ce cas, la somme d'autant de nombres que l'on voudra pris dans la suite ll^, it^, ..., îi„, ... est inférieure à A. Dans le second cas au contraire, caractérisé par ce fait que, quel que soit le nombre positif A, on peut prendre dans la même suite assez de termes pour que leur somme dépasse A, la série (S) est divergente.

Il résulte de là que si la série (S), à termes positifs, est convergente, elle restera convergente quand on remplacera tels termes que l'on voudra par des nombres positifs plus petits ou lorsqu'on supprimera un nombre fini ou infini de termes (§ 45).

49. Le caractère fondamental des séries convergentes à termes positifs permet de démontrer l'importante proposition que voici :

La série

L J -JL 1

y^) p +a + 2i+« "^ 3' +^ "^ ■■■ "^ Jl^ ^'^ "^ *"'

est convergente si a est positif, divergente si a est nul ou négatif (i). Considérons en effet l'ensemble des termes de cette série qui correspondent à ceux des nombres entiers qui admettent un même nombre de chiffres, p par exemple; il y a 10^ — 10^-' = 9 X 10''-^ tels nombres; chacun d'eux est compris entre 10^'"^ et lOï*; chacun des

termes correspondants de la série est donc compris enti^e -,

^ . '■ IOp C + a)

et J-: 777^ — - ' et la somme de ces termes est comprise entre

9XlO''-' 9 9XlO^-' 9

Ceci posé, désignons par s„ la somme des n premiers termes de la série (1), on pouri^a prendre dans la série

assez de termes pour que leur somme dépasse s„ : or, si a est positif, les termes de la série (2) sont les termes d'une progression géométrique

décroissante dont la raison est jr— ; la somme d'autant de termes que

l'on veut est inférieure à

10«— 1 On a donc, quel que soit n,

10^ La série (1) est donc convergente.

(1) On doit supposer ici a rationnel, mais cette restriction se lèvera d'ello-mème dés que l'on aura déliai le sens qu'il convient d'attribuer aux exposants irralinnnels.

52 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.

De même, quel que soit le nombre de termes que l'on prenne dans la série

on peut prendre n assez grand pour que s„ dépasse la somme de ces

termes : or, si a est nul ou négatif, les termes de cette suite sont

égaux ou supérieurs à — ; on peut prendre assez de ces termes pour

que leur somme dépasse tel nombre que l'on voudra ; dans ce cas la série (1) est divergente; si a est positif, on voit que l'on pourra toujours supposer n assez grand pour que Ton ait

" — lO^-*-^— 10 en sorte que, dans ce cas, la somme de la série (1) est comprise entre

et

10i + a io 10==—!'

on aurait pu faire le même raisonnement en supposant que la base de la numération fût un nombre entier positif quelconque a et l'on aurait trouvé pour les deux nombres entre lesquels la somme de la série doit être comprise,

a — 1 (rt — 1) 0"=

et

50. Il importe de fixer l'attention sur la propriété évidente des séries convergentes à termes positifs que voici : Soient S la somme d'une telle série, A et a deux nombres dont le premier est supérieur à S et le second inférieur; on peut prendre dans la série assez de termes pour que leur somme dépasse a; la somme d'un nombre quelconque de termes de la série est inférieure à A. Cette remarque sert dans plusieurs démonstrations.

51. On dit qu'une série est absolument convergente, lorsque la

série obtenue en y remplaçant chaque terme par sa valeur absolue est convergente (1). Qu'une série absolument convergente, en ce sens, soit convergente au sens qui a été donné à ce mot au début de ce chapitre, c'est ce qui a été déjà démontré (§ 45). Au surplus, on va le- prouver directement et démontrer en même temps que la somme d'une série absolument convergente est la différence entre les sommes de deux séries formées, l'une avec les termes positifs, l'autre avec les valeurs absolues des termes négatifs de la série proposée.

Soit (S) une série absolument convergente, contenant une infinité de termes positifs et de termes négatifs; soient (S'), et (S") les deux séries formées, l'une avec les termes positifs de (S) rangés dans l'ordre où ils se présentent dans (S), l'autre avec les valeurs absolues des termes négatifs de (S) rangés aussi dans l'ordre où ils se présentent. Soit 2 la somme de la série formée avec les valeurs absolues des termes de (S); soient enfin s„ la somme des n premiers termes de (S), s'j la somme des n' termes positifs compris parmi ces n termes et s^ la somme des valeurs absolues des n' termes négatifs contenus dans s„. On a :

Quand n augmente, si et si ne diminuent jamais; quand n augmente indéfiniment, ces mêmes sommes si et s,", toujours inférieures à 2 tendent vers des limites S' , S" et, par suite, s„ = si — si tend vers la limite S' — S" ; il est d'ailleurs bien aisé de voir que S' , S' sont les sommes des séries (S'), (S"); d'abord ces séries sont convergentes, puisque la somme d'autant de termes que l'on voudra, pris dans l'une ou dans l'autre, ne peut dépasser 2; puis, quand n augmente indéfiniment, il en est de même de n' et de n\ sans quoi il n'y aurait

(I) La nécessité de dislinguer enlro les séries absolument convergentes et celles qui ne le sont pas, est signalée dans le Cotus a Analyse de Gaucliy, p. 147; celle dislinction joue un rùle essentiel dans le Mémoire de Lejeane Dirichlet Sur la convergence des séries trigonométriques qîti servent d représenter une fonction arbitraire entre des limites données {Journal de Crelle, t. IV, 1829, p. lo7); elle a clé mise en complète lumière i)ar Riemaun dans son Mémoire Ueber die Darsterbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe, 18J4 (B. Riemanns ges. mo/th. Werke. p. 221; Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques, l'^ série, 1. V, p. 29). Les remarques de Riemann à ce sujet seront rei)roduites § 6J.

dans (S) qu'un nombre limité de termes positifs ou négatifs; donc, lorsque n augmente indéfiniment, s,' et s", c'est à dire les sommes des n' premiers termes de la série (S') d'une part, des n" premiers termes de la série (S") de l'autre, ne peuvent tendre vers d'autres limites que les sommes respectives S' , S" de ces séries. C'est ce qu'il fallait établir.

S'il n'y avait, dans la série absolument convergente donnée, qu'un nombre limité de termes négatifs, par exemple, la somme de la série serait encore S' — S", en conservant à S' sa signification et en désignant par S" la somme des valeurs absolues des termes négatifs.

52. Dans une série absolument convergente, on peut, sans changer la somme de la série, changer l'ordre des termes.

Avant de démontrer cette proposition, il convient d'en préciser la signification : lorsqu'on a affaire à un certain nombre fini d'objets rangés dans un ordre déterminé, il n'y a aucune difficulté à concevoir les mêmes objets, rangés dans un autre ordre. Mais cette notion n'est pas aussi claire lorsqu'on a affaire à un nombre infini d'objets, ou de nombres.